Разрешена относительно

т. е. что уравнения Лагранжа могут быть разрешены относительно (jj и представлены в виде уравнений (6).

В этом смысле уравнения (20) представляют собой эквивалент уравнений Лагранжа (4). Уравнения (20) разрешены относительно старших производных и представлены в симметричной и удобной форме. Их называют каноническими уравнениями или уравнениями Гамильтона для движения в потенциальных полях.

преобразуется: **==/). Предположим, что равенства (113) могут быть разрешены относительно q и р, т. е. что якобиан преобразования (113) J =5^=0 и поэтому существуют обратные преобразования

и предполагая, что эти зависимости могут быть разрешены относительно q:, ..., qm, мы можем привести систему уравнений (5.1) к системе 2s уравнений первого порядка.

Указанные три функции необходимо найти таким образом, чтобы удовлетворялись уравнения равновесия (2.78) и граничные условия (2.81). Однако, поскольку уравнения (2.78) и условия (2.81) записаны в напряжениях, их необходимо преобразовать и выразить в перемещениях. Для этой цели уравнения (2.86) и (2.87) обобщенного закона Гука следует записать так, чтобы они были разрешены относительно напряжений.

Эти уравнения, будучи линейными относительно q'^, q'y g'3, так как Т есть квадратичная функция этих величин, могут быть разрешены относительно q', q'2, q's в виде:

где h0 = 0. Наконец, соотношения (157) могут быть разрешены относительно деформаций, которые выражаются таким образом через усредненные напряжения. Окончательные выражения имеют вид, аналогичный (138), где Stj теперь определяются через Q^. Таким образом, теория слоистых пластин при симметричном расположении слоев построена. Она обладает недостатками, свойственными всем теориям плоского напряженного состояния, т. е. в ней не удовлетворяются все уравнения совместности деформаций и граничные условия по перемещениям между слоями.

Так как уравнения связей (2.59) разрешены относительно координат zk+1, k = 1, 2, . . ., п — 1, то матрица Якоби (-j^-) является единичной матрицей (2.23). Следовательно,

Уравнения 1-го порядка, не решённые относительно производной. В том случае, когда уравнения 1-го порядка, заданные в форме F (х, у, у') = 0, могут быть разрешены относительно производной у', полученное решение будет, вообще говоря, неоднозначной функцией переменных х, у. Обычно в этом случае последовательно рассматриваются все однозначные непрерывные ветви /1 (х, у), /2 (х, у),..., fn (х, у) этой многозначной функции и интегрируются уравнения нормальной формы

Определение устойчивости по Ляпунову и некоторые другие определения устойчивости. Состояние произвольной механической системы с п степенями свободы определяется s = In переменными у±, у2, ... , ys (обобщенные координаты и скорости) и описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, которые могут быть разрешены относительно производных

Отметим еще один способ определения неизвестных разрывов в случае упругих и обобщенных сопряжений, для которых соотношения между величинами \7„ и неизвестными разрывами Д могут быть разрешены относительно неизвестных разрывов (так как сс0 ^= 0) и записываются в виде

причем уравнения (1.9) могут быть разрешены относительно любых т аргументов хг, xz, .,., хт:

Вывод формулы (16.24) аналогичен выводу формулы (8.63) для зубчатых передач. Только формула (8.63) разрешена относительно эквивалентного числа циклов МНР, а формула (16.24) — эквивалентной нагрузки PI: . Это несколько усложняет расчеты, так как не позволяет использовать результаты предыдущего расчета, например зубчатых колес, для последующего расчета подшипников. Кроме того, для расчета по формуле (16.24) необходимо знать циклограмму нагру-жения, которая известна лишь в редких случаях.

Действительно, если силы, стоящие в правых частях уравнений (2), не зависят от ускорений точек, то система, представленная в форме (2), разрешена относительно старших производных. Для систем такого рода (систем типа Коши) в теории дифференциальных уравнений установлены теоремы существования и единственности решения при заданных начальных данных. Эти теоремы утверждают, что при некоторых нестеснительных для механики ограничениях, наложенных на правые части дифференциальных уравнений, существует решение этих уравнений, причем задание начальных данных — координат qf и скоростей 4/, число которых соответствует порядку системы, — полностью определяет это решение, т. е. в нашем случае — последующее движение.

В гл. IV было показано, что система уравнений Лагранжа всегда может быть разрешена относительно старших производных и в стационарном случае сводится к виду

В случае ненатуральной системы неравенство (11) выполнено в силу ограничений, накладываемых на выбор лагранжиана L. В силу (11) система равенств (9) может быть всегда разрешена относительно обобщенных скоростей, т. е. представлена в виде

Среди этих т интегралов могут быть и зависимые, т. е. некоторые из равенств, входящих в систему (27), могут оказаться следствиями остальных. Такие зависимые первые интегралы не могут быть использованы для упрощения уравнений движения, и нас интересуют лишь системы независимых первых интегралов (27). Если т^2п и если все равенства, входящие в систему (27), независимы, то система первых интегралов называется полной. В силу независимости функций, входящих в эту систему, полная система из т = 2п первых интегралов может быть разрешена относительно аргументов — ими являются координаты и обобщенные импульсы — и представлена в виде

материальной системы. В дальнейшем переменные qi, q?,, .... 4s, Pi, Рг, . •., PS будем называть переменными Гамильтона в отличие от переменных Лагранжа q\, с/2, ..., 4s, qit с/2, • • •. 4s- Система (5.3) может быть разрешена относительно qm. В самом деле, как было установлено в § 3.6, кинетическую энергию можно представить в виде

Для возможности использования ЭЦВМ полученная система дифференциальных уравнений (см. выше) введением вспомогательных переменных была разрешена относительно производных первого порядка. Кроме того, поскольку t является зависимой

Координаты Xj0, характеризующие точки стержня, называются переменными Лагранжа. (Считается, что в любой фиксированный момент времени t Система уравнений (4.26) может быть разрешена относительно х,-0:

т. е. система (2.42) явно разрешена относительно X. Тогда, начиная с некоторого исходного вектора Х° = {xi, х%, ..., х%}, подставляемого в правую часть уравнений (2.43), (k + l)-e приближение надо искать по формуле

и она может быть разрешена относительно Ki (r) и /G (г).

Зависимость (2.4) может быть разрешена относительно искомых безразмерных комплексов — определяемых критериев подобия: