Периодическими колебаниями

представляют собою периодические функции периода т. Пусть ?' (t), т)' (/), t} (t) (i = 1, 2, 3) — фундаментальная система решений этих дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами, т. е. система решений, удовлетворяющая начальным условиям ' (0) = 61(, TJ' (0) = = 62Ь ^ (0) = 63,-, где б/у — символ Кронекера, равный единице при i = / и нулю при 1Ф \. Характеристическое уравнение для рассматриваемого периодического движения имеет вид

Метод Рэлея для систем уравнений с периодическими коэффициентами. Если приближенное решение уравнения (7.218) ищется в виде

В результате получаем систему п уравнений с периодическими коэффициентами относительно п неизвестных функций времени tu(k) вида

В результате получили систему уравнений с периодическими коэффициентами. Основная особенность данной задачи заключается в том, что время процесса ограничено (время движения массы по стержню), поэтому колебания стержня являются неустановившимися и воспользоваться методами, которые были изложены в § 7.7, нельзя. Время движения массы т по стержню равно tK = l/v. Безразмерное время тк=1/»о. Систему уравнений (4) можно представить в виде

Дифференциальные уравнения типа (4) решены приближенно методом Б. Г. Галеркина и получены бесконечные системы обыкновенных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами

Входящие в формулы (19. 2), (19. 3) и участвующие в построении общего решения системы уравнений движения с периодическими коэффициентами вектор-функции 9Я* (р)ч- ? и <2Л** (р)ч. t отличаются от соответствующих им в одноиндексном обозначении 9Х* (р)Е, 9Я** (р)? только тем, что в последних величины

Система уравнений движения машинного агрегата (46.4), (46.5) является нелинейной дифференциальной системой с переменными (периодическими) коэффициентами. В общем случае точные аналитические методы отыскания решения такой системы отсутствуют. В технической литературе известны приближенные

2, Электродвигатели переменного тока. Из электродвигателей переменного тока в современных машинах наибольшее применение благодаря высокой экономичности, простоте конструкции и системы управления, высокой надежности получили асинхронные двигатели с короткозамкнутым ротором. Система дифференциальных уравнений, описывающих при определенных допущениях электромеханические процессы преобразования энергии асинхронного двигателя в реальных фазных переменных, является существенно нелинейной с периодическими коэффициентами [17,

Если д„(?) является периодической функцией времени, описывающей установившееся движение механизма, уравнения (3.42) и (3.44) являются линейными с периодическими коэффициентами.

Следовательно, вектор-функцию % (t) можно рассматривать как общее решение системы дифференциальных уравнений с кусочно-постоянными периодическими коэффициентами, удовлетворяющее

Выше было доказано, что свойства решений системы дифференциальных уравнений (9.29) с периодическими коэффициентами и набором величин хо' S определяются свойствами непрерывных решений системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. При этом построение осуществлено в предположении, что набор величин Хо' Е фиксирован операторами ф°' Е вида (8.50). Выясним теперь условия, при которых система дифференциальных уравнений (9.29) имеет периодические решения. Для этого необходимо, чтобы уравнение (9.16) было разрешимо. Уравнение (9.16) имеет решения,

Таким образом, периодическими колебаниями скоростей механизма называются колебания, при которых скорости всех звеньев механизма имеют вполне определенные циклы, по истечении которых эти скорости принимают каждый раз свои первоначальные значения.

Для машин характерно неравновесно-установившееся движение с периодическими колебаниями скорости внутри периода, т. е. неравномерное движение. Равномерного движения вообще не существует и даже ротор быстроходной турбины вращается с небольшой нер ав номер ностью.

Периодическими колебаниями угловых скоростей называют такие колебания, при которых угловые скорости всех звеньев

Таким образом, периодическими колебаниями скоростей механизма называются колебания, при которых скорости всех звеньев механизма имеют вполне определенные циклы, по истечении которых эти скорости принимают каждый раз свои первоначальные значения.

Последние две из указанных величин угловой скорости соответствуют предельным значениям угловой скорости, определяемым периодическими колебаниями. Эти колебания оцениваются коэффициентом 6 неравномерности движения агрегата, представляющим собой отношение разности (сомакс — юмин) экстремальных значений угловой скорости к их полусумме, являющейся величиной соср средней угловой скорости. В данном случае можно написать:

чины приведенной массы в зависимости от положения звена приведения являются причиной того, что скорость звена приведения переменна, хотя по истечении каждого цикла величина ее приобретает первоначальные значения. Эти колебания скорости вращения звена приведения называются периодическими колебаниями. Неравномерность движения авена приведения при установившемся движении оценивается коэфициентом неравномерности хода:

В судостроительной промышленности наибольшее распространение из многослойных материалов получают биметаллы, изготовленные различными методами наплавки изделий. Как правило, работа таких изделий связана с периодическими колебаниями нагрузок и температуры. Ранее нами было показано [1], что при таких условиях в переходном слое биметалла образуются четко различимые зоны обезуглероживания и науглероживания. При дальнейшем наблюдении за таким материалом в период эксплуатации было замечено, что величина диффузионной зоны изменяется от действия циклических нагрузок и температуры нагрева. Для исследования были выбраны широко используемые сплавы биметаллов, полученные методом электродуговой наплавки: Ст. 3+0X1869; Ст. 3+07Х25Н12Г2Т; Ст. 3+10Х16Н25М6; Х2Н1М+10Х16Н25М6.

Режим почти периодических колебаний, соответствующий левой окрестности зоны субгармонического захватывания второго порядка и области U > 0, показан на рис. 8, а, он получен при 7=0, v=l,9, 1^1=1,14 и М0=2,5. Из рисунка видны почти периодические колебания скорости источника ф в соответствии с почти периодическими колебаниями х, что обусловлено взаимодействием источника и колебательной системы. В правой окрестности области захватывания имели место аналогичные колебательные режимы.

Неравновесное установившееся движение сопровождается периодическими колебаниями угловой скорости главного вала машин. Изучение вопросов регулирования неравномерности этого движения посредством маховика составляет также одну из основных задач динамики машин.

Величина К, максимальна при сварочных скоростях FMCII= = 10 мм/с. Движение стола в обратном направлении со скоростью Fnaon=75 мм/с сопровождается периодическими колебаниями (частота около 11 Гц, а перепад скорости ДТ7=25 мм/с). При

где W MQX , to т;п - максимальное и минимальное значение угловой скорости выходного вала. Ориентировочные значения коэффициентов неравномерности для силовых передач приведены в таблице. При выборе схемы ИМ необходимо учитывать, что значения коэффициента неравномерности соответствуют определенным передачам: &<2 - передачи с периодическими колебаниями угловой скорости;