Периодическими функциями

и соответствующее автономное уравнение имеет негрубый устойчивый (ILIV >• 0) предельный цикл г — 0. При неавтономном периодическом его возмущении и Я > 0 возможно возникновение в его окрестности устойчивого установившегося движения, для которого переменная ф = a>t + ty, где изменение фазы ty является случайным и может быть с той или иной степенью точности описано статистически. Это устойчивое установившееся движение является грубым образованием, структура которого не меняется от любых, достаточно малых гладких автономных и неавтономных периодических возмущений.

Проведенное рассмотрение малых неавтономных периодических возмущений автономной системы второго порядка обнаружило естественность появления с переходом от двумерных к многомерным динамическим системам притягивающих гомоклинических структур и, в частности, стохастических синхронизмов.

Из периодических возмущений наиболее существенными являются те, которые вызываются погрешностями изготовления и сборки зубчатых колес сумматорных редукторов. Действие этих возмущений также зависит от их фазировки, которая определяется взаимным расположением полюсов зацепления приводных шестерен по делительной окружности колеса. Исходя из изложенного, следует стремиться к такому размещению приводных шестерен, при котором расстояние между полюсами зацеплений смежных шестерен кратно шагу зацепления. В этом случае обеспечивается максимальная демпфирующая способность привода, наименьшая неравномерность распределения нагрузок по ветвям.

Накопление периодических возмущений. Необходимые разъ-1 яснения дадим на примере одномассовой динамической модели (рис. 24) при одновременном воздействии силового F и кинематического х возмущений, имеющих общий период т = 2я/со. Дифференциальное уравнение, соответствующее этой модели, имеет вид

Периодический характер изменения сил давления газов и сил инерции движущихся частей механизма двигателя вызывает вибрацию двигателя. Действие этих периодических возмущений приводит к возникновению сложной картины вибрации двигателей. Однако надежное теоретическое определение основных возмущающих усилий, возникающих в двигателях различных конфигураций, затруднительно, так как в двигателях имеются и другие источники вибрации, которые теоретически трудно учесть. Среди них остаточные дисбалансы многочисленных вращающихся частей, удары поршней при перекладке зазоров, газодинамические колебания, воспламенение и сгорание топлива в цилиндрах, удары в зубчатой передаче, удары клапанов, импульсы выхлопных газов и разновес комплекта шатунно-поршневой группы и др. [46 ].

Вынужденные колебания вала возникают в результате действия тех или иных периодических возмущений. В большинстве случаев частота возмущения связана с периодом вращения вала и поэтому частота вынужденных колебаний часто бывает кратна числу оборотов вала в единицу времени. При равенстве частот вынужденных и собственных колебаний возникает резонансное или критическое состояние вала, характеризующееся повышенными прогибами. Простейшим и в то же время наиболее часто встречающимся случаем является тот, при котором частота возмущающей силы равна числу оборотов вала. Такой случай имеет место всегда при наличии на валу неуравновешенной массы.

Рис. 5.24. Распределение статических давлений (а, б) и чисел М (в) вдоль. суживающегося канала решетки при наличии периодических возмущений за его-срезом в различные моменты времени. Частота возмущений /=6,0 кГц- начальные параметры: р0=0,1 МПа; Т„=Т,0; f=6 кГц; рам = 0,65 р„; Ра = 0,27р0; Рам=Рам+А/?м з!п2л/т (расчеты Г. А. Салтанова):

б) приближенно по экспериментальной временной характеристике клапана; такое построение применяют в тех случаях, когда клапан пропускает очень узкую полосу частот, либо совершенно не допускает ввода периодических возмущений;

Помимо волны Кортевега имеют место и иные формы перемещения периодических возмущений, определяемые иными решениями дифференциального уравнения, решаемого методом Фурье [101]. При Я «^ 0„ соответствующие возмущения, например винтовые

Гасители крутильных колебаний [3,4] предназначены для снижения или полного устранения высокочастотных колебаний, возникающих в трансмиссии от действия периодических возмущений. Вне зависимости от конструкции все они работают по принципу рассеивания энергии. Устройства состоят из упругого элемента (пружины, резины), обеспечивающего относительное перемещение ведущей и ведомой частей диска, и диссипа-тивного элемента.

Источниками внешних периодических воздействий на упругую систему станка являются центробежные силы быстровращающихся несбалансированных детален (роторов электродвигателей, шпинделей, валов и т. п ), так называемая магнитная неуравновешенность электродвигателей, пульсация гидравлических приводов, перр-сопряжение зубьев зубчатых колес, периодические возмущения от шарикоподшипни ков и возмущения, передаваемые через фундамент станка от посторонних источников воздействия и т п. Переменность сечения срезаемого слоя возникает при фрезерова нии, протягивании, при обработке заготовок с переменным припуском и т. п. Сложный несинусоидальный характер многих периодических возмущений в станках создает сложный и широкий спектр колебаний системы, включающий как первые гармоники возмущений, так и ряд субгармоник. Некоторые возмущения имеют статистическ\ч° природу и для оценки колебаний приходится использовать методы статистическои

Рис. 8. Схемы компенсации периодических возмущений со

На рис. 13.9 показаны графики изменения скоростей и2 и и,. Эти скорости являются периодическими функциями времени /, период которых равен ф/со. На графике 0=—ф/2 при / = 0; 0=~0 при /--ф/(2(о) и Э=ф/2 при ^=ф/о).

Остановимся теперь на вопросе о связи точечного отображения Т, порождаемого фазовыми траекториями на секущей поверхности, с отображением сдвига 7\. Отображение Т секущей поверхности определено в пространстве, размерность которого по крайней мере на единицу меньше, чем размерность фазового пространства системы. В отличие от Т, точечное отображение сдвига 7\ определено в пространстве той же размерности, что и фазовое пространство. Поэтому характер связи между структурой фазового портрета динамической системы и структурой точечного отображения сдвига 7\ отличается от связи структуры разбиения фазового пространства на траектории со структурой отображения Т секущей поверхности. Вместе с тем отображение сдвига 7\ автономной системы или неавтономной системы, правые части дифференциальных уравнений которой являются периодическими функциями времени t, можно интерпретировать как точечное отображение Т, порождаемое решениями дифференциальных уравнений на

На рис. В.5 показана передача с гибкой связью, обладающей изгибной жесткостью. Если момент сопротивления, действующий на ведомый шкив, изменяется во времени, то и осевые усилия в ветвях передачи также будут изменяться во времени. Поэтому уравнения поперечных колебаний ветвей передачи будут зависеть от времени, и если коэффициенты будут периодическими функциями времени, то могут возникнуть параметрические колебания. В данном примере в отличие от примера (см. рис. В.1) возможные неустойчивые режимы колебаний будут зависеть и от скорости w продольного движения гибкой связи.

Элементы матриц Аш(1), А<2) и компоненты вектора ДФ есть периодические функции времени. Они зависят от w\ и Р\ (9.32), которые считаются периодическими функциями. Например, w\ и Р\ периодические гармонические функции ш1 = шю81п сот, Р\ = Р\о(е) cos ют. Приближенное решение уравнения (9.63) ищем в виде (ограничившись в качестве примера одночленным приближением) Z=Zc/"(e)f<1>(T). Воспользовавшись принципом возможных перемещений (полагая 6Zo(1)='66iE0Zcf1>), после преобразований из (9.63) получим уравнение

Режимы движения механизма. В механизмах с одной степенью свободы различают три режима движения: разбег, установившееся движение и выбег. Установившимся движением механизма называется движение механизма с одной степенью свободы, при котором его кинетическая энергия и обобщенная скорость (производная обобщенной координаты по времени) являются периодическими функциями времени. Минимальный промежуток времени, в начале и конце которого повторяются значения кинетической энергии и обобщенной скорости механизма, называется временем цикла установившегося движения. Режим движения механизма от начала движения до установившегося движения называется разбегом, а от установившегося движения до конца движения — выбегом. Режимы разбега и выбега, а также режимы перехода от установившегося движения с одной средней обобщенной скоростью к движению с другой средней скоростью называются переходными режимами.

Частотные характеристики механизма. Во многих механиз* мах внешние силы, действующие на звенья механизма, являются периодическими функциями времени, которые посредством разложения в ряды Фурье могут быть представлены в виде суммы гармоник различных частот. Для исследования динамики механизмов с линейными уравнениями движения при этих воздействиях (силах) предлагались различные виды характеристик, которые устанавливают соотношения между функцией

Рассмотрим более общий материал, образованный из трехмерных повторяющихся элементов, так что вектор L = l&i + та2 + + гаа3 (I, т,п — целые числа) является вектором решетки и соединяет две взаимно соответствующие точки любых двух элементов. Векторы аг- образуют базис материала. Можно считать, что свойства материала р, С ц являются периодическими функциями, например, р (г) = р (г + L). Хорошо известно, что для такой среды существуют волновые решения, которые записываются в форме , .

анализе гармонических волн можно представить периодическими функциями, и задача сводится к отысканию решения для одного элемента. В математическом отношении она приводится к «теории Флоке», разработанной для дифференциальных уравнений. Аналогом этой задачи в физике твердого тела является проблема распространения электронных волн при периодических потенциалах. Решение уравнения Шредингера, описывающего эту задачу, получено вариационными методами в работе Кона [86], а распространение этих методов на слоистые композиционные материалы представлено в работе Кона и др. [87]. By [197] использовал построенный в этих работах вариационный метод для анализа распространения поперечных волн в волокнистых композиционных материалах. Аналогичные задачи рассмотрели Вилер и Мура [189], Тобон [178].

С точки зрения акустической диагностики важным является то обстоятельство, что акустические сигналы некоторых источников можно с достаточной степенью точности описать детерминированными периодическими функциями, сигналы других источников носят случайный характер. Из перечисленных выше источников сигналы, близкие к детерминированным, вызывают дисбалансы, многие виды механических ударов, сирены, вихри Кармана. Случайные вибрации и шумы вызывают хаотические удары, трение, ошибки изготовления деталей, турбулентность, кавитация.

> Больше других разработаны детерминированные модели, с ними связаны наиболее значительные достижения в области акустической диагностики машин и механизмов. В них выходные сигналы представляются детерминированными периодическими функциями: периодическими рядами импульсов, обусловленных соударением деталей, или гармоническими функциями, связанными с вращением частей машины или механизма. Информативными диагностическими признаками здесь являются амплитуды, продолжительность и моменты появления импульсов, а также частота, амплитуда и фаза гармонических сигналов. Как правило, связь этих признаков с внутренними параметрами определяется на основе анализа физических процессов звукообразования без помощи трудоемких экспериментов. Модели с детерминированными сигналами оправданы и дают хорошие практические результаты для сравнительно низкооборотных машин с небольшим числом внутренних источников звука, в которых удается выделить импульсы, обусловленные отдельными соударениями деталей. Такие модели используются при акустической диагностике электрических машин [75, 335], двигателей внутреннего сгора-

Очевидно, что класс функций -Bi(t) и F\ (со), для которых верна теорема, определяется условием (3.15): функция спектральной плотности мощности определена для тех случайных процессов, функции автокорреляции которых достаточно быстро убывают при стремлении задержки времени к бесконечности. Исключением являются периодические процессы, функции автокорреляции которых также являются периодическими функциями и поэтому не убывают при больших задержках т. Для них понятие спектральной плотности мощности определено благодаря использованию б-функции Дирака [329]. Заметим также, что для сигналов с конечной полной энергией спектральная плотность мощности равна нулю. Это является следствием соотношения (3.19): спектральная плотность энергии сигнала iS(co)2 в этом случае конечна, а средняя за бесконечное время мощность тождественно обращается в нуль.