Параметрического возбуждения

Рассмотрим область неустойчивости, связанную с параметром а, равным единице. Если в уравнении (7.221) положить а2=0, то получим уравнение свободных колебаний (без сил сопротивления) с частотой р\2=а\. После перехода к времени TI [соотношение (7.223)] получаем а=4р!2/и2. Параметр а равен единице при m=2pi, т. е. при частоте изменения параметра со, равной удвоенной частоте свободных колебаний системы. Область неустойчивости на диаграмме Айнса — Стретта, соответствующая а=1, называется областью главного параметрического резонанса. Области, связанные с точкой а=4, соответствуют условию ш=рь Из рассмотрения полученных областей неустойчивости (диаграмма' Айнса — Стретта) следует одна из основных особенностей параметрических колебаний, из-за которой эти колебания представляют большую опасность в технике. Неустойчивые колебания (параметрические резонансы) возможны не для одной фиксированной частоты со, как, например, при обычных резонансах, а для интервала значений со.

Рассмотрим в качестве примера параметрических колебаний стержень постоянного сечения, лежащий на упругом основании (рис. 7.29). Стержень нагружен осевой периодической силой. Требуется получить области главного параметрического резонанса методом Рэлея, ограничившись первым приближением (одночленным). Уравнение изгибных параметрических колебаний стержня имеет вид

Приравняв определитель системы (7.256) нулю, получаем уравнение, из которого определяем границы главной области параметрического резонанса:

7.10. К сосредоточенной массе (рис. 7.40) приложена периодическая сила> направленная под углом а к оси х2. Требуется определить (приближенно) уравнения границ главной области параметрического резонанса. При решении уравнения колебаний стержня воспользоваться принципом возможных перемещений, ограничившись одночленным приближением.

Рис. 17.107. Пример параметрического резонанса. Перемещение центра тяжести человека, раскачивающегося на качелях и совершающего при этом приседания и выпрямления во весь рост. Вследствие такого изменения параметра (длины «маятника^) амплитуды увеличиваются — возникает параметрический резонанс.

б) устанавливаются условия возникновения параметрического резонанса;

в) определяются амплитуды установившихся параметрических колебаний в зоне параметрического резонанса (в нелинейной постановке).

1. Предварительные замечания. В предыдущем параграфе обсуждалась динамическая потеря устойчивости при воздействии на систему статических сил. Однако, разумеется, динамическая потеря устойчивости может происходить и при воздействии переменных во времени сил. В настоящем параграфе коснемся лишь некоторых понятий, относящихся к отмеченной здесь ситуации, без выполнения, даже в этих немногих рассмотренных вопросах, математических выкладок. Центр тяжести перенесен на описание особенностей явления и некоторые основные положения приведены без доказательства. Впервые в области механики твердых деформируемых тел динамическая потеря устойчивости в форме параметрического резонанса была исследована на простейшем примере, который рассматривается ниже, Н. М. Беляевым2). Большой вклад в науку, позволивший говорить о создании специальной ветви

качественное отличие параметрического -резонанса состоит в наличии сплошных областей комбинаций параметров (областей неустойчивости), при которых он возникает.

Таким образом, основная собственная частота условного осциллятора оказалась равной 2plt что при некоторой периодической пульсации частоты исходной системы соответствует зоне главного параметрического резонанса. В дальнейшем на этом интересном и вполне закономерном результате мы остановимся подробнее.

Указанному интервалу в первом приближении отвечает область главного параметрического резонанса исходной системы.

Фазовые пространства уравнения дисбалансного ротора на гармонически колеблющемся основании трехмерны. Анализ отображений (см., к примеру, рис. 2. 9 в работе [26]) позволяет установить однократные и многократные устойчивые неподвижные точки и хаотические последовательности. Первым отвечают движения ротора, синхронные с частотой параметрического возбуждения, второму хаотические движения. С ростом параметра и эти типы движений чередуются, причем зоны синхронизации по параметру о с его ростом уменьшаются, а зоны хаотических движений расширяются.

Хорошо известным примером параметрического возбуждения и поддерживания колебаний является качание на качелях. Когда качели находятся в верхней точке, качающийся на них приседает, а когда качели проходят нижнюю точку, он снова выпрямляется. В результате приседания в верхних точках совершается меньшая по модулю работа, чем работа при подъеме в нижней точке. Разность работ, по закону сохранения, равна разности энергий качаний, и качели раскачиваются. Если эта энергия затрачивается полностью на работу силы трения, то качания поддерживаются в незатухающем режиме.

Для того чтобы выяснить сущность явления параметрического возбуждения колебаний, вернемся к простейшему случаю колебаний маятника. Одним из параметров маятника, характеризующим свойства маятника как колебательной системы, является длина маятника. Параметрическое воздействие на маятник мы можем осуществить, периодически изменяя его длину, т. е. втягивая и выпуская нить, на которой висит маятник. Представим себе, что маятник уже совершает малые колебания и мы втягиваем нить всякий раз, когда маятник проходит через среднее положение, и настолько же выпускаем нить всякий раз, когда маятник проходит через крайние положения.

Классическим примером такого параметрического возбуждения колебаний является раскачивание на качелях. Приседая в крайних положениях и выпрямляясь в среднем положении, человек, находящийся на качелях, изменяет момент инерции качелей (т. е. изменяет параметр системы) с частотой, вдвое большей, чем собственная частота системы. Выпрямляясь в среднем положении, качающийся человек совершает положительную работу; приседая в крайних положениях, он совершает меньшую отрицательную работу, и поэтому энергия колебаний с каждым периодом возрастает.

Для параметрического возбуждения колебаний принципиально необходимо, чтобы система уже совершала малые колебания. Однако вследствие неизбежных случайных толчков во всякой системе существуют малые собственные колебания. И если параметрическое воздействие происходит с надлежащей частотой, то эти малые колебания начинают нарастать (необходимое для этого соотношение фаз устанавливается само собой). Так как явление параметрического возбуждения наблюдается только при известных соотношениях между частотой внешнего воздействия и частотой собственных колебаний системы, то в этом отношении оно сходно с явлением резонанса. Поэтому его часто называют параметрическим резонансом.

Как мы убедились, под действием внешней силы в случае резонанса в системе возбуждаются стоячие волны, по характеру распределения амплитуд близкие к тому из нормальных колебаний системы, частота которого совпадает с частотой внешнего воздействия. В других случаях возбуждения интенсивных колебаний в сплошной системе дело обстоит аналогичным образом. Так, в случае параметрического возбуждения колебаний (§ 152) интенсивные колебания возникают, когда частота колебаний ножки камертона вдвое больше одного из нормальных колебаний струны, и распределение амплитуд колебаний будет такое же, как для соответствующего нормального колебания струны: на струне укладывается «половина синусоиды», «целая синусоида», «полторы синусоиды» и т. д.

3. Алифов А. А., Фролов К. В. Исследование автоколебаний при трении в условиях параметрического возбуждения и ограниченной мощности источника энергии. — Изв. АН СССР, МТТ, 1979, № 4.

16. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ДИНАМИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ В ЗОНАХ ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО ВОЗБУЖДЕНИЯ

Следует подчеркнуть, что для многих цикловых механизмов предельные режимы работы, как правило, располагаются на достаточно большом удалении от основных зон параметрического возбуждения. В этих случаях, подробно рассмотренных в гл. 5, динамические нагрузки и уровень искажений заданных кинематических функций оказываются недопустимо большими еще на далеких подступах к основным зонам параметрического резонанса. Однако имеется класс механизмов, работающих на повышенных скоростях, достигающих, а иногда перекрывающих ряд критических зон. К этому классу можно отнести механизмы, у которых функция положения обладает повышенной «гладкостью», т. е. не имеет существенных скачков или резких изменений производных достаточно высокого порядка. Этими свойствами, например, обладают эксцентриковые механизмы, ряд шарнирно-рычажных механизмов, работающих без значительных приближенных вы-стоев ведомого звена, и др.

Рис. 71. К анализу причин параметрического возбуждения

стемы, причем ширина этой области зависит от глубины- пульсации (см. п. 28). Вышеизложенное позволяет говорить о двух принципиальных возможностях устранения параметрического возбуждения. Первый путь связан с частотной отстройкой от критических зон, при которой значения со в достаточной степени удаляются от значений со.,.. Второй путь предполагает выявление некоторых. «энергетических барьеров», определяемых выражениями типа (6.6), препятствующих параметрическому возбуждению даже в критических зонах. Этот путь для обеспечения безава-