Параметрическое уравнение

Мы рассматривали выше случай возбуждения вынужденных колебаний, при которых внешнее воздействие непосредственно вызывает движение колеблющегося тела или отдельных его точек. Однако колебания могут возникать и в том случае, когда внешнее воздействие не вызывает непосредственно движения системы, а лишь периодически изменяет свойства колебательной системы. Когда внешнее воздействие сводится к изменению свойств системы, то оно изменяет какой-либо из параметров, характеризующих свойства системы. Такие воздействия называются параметрическими. Например, параметрическое воздействие на струну можно осуществить, прикрепив конец струны к ножке камертона, которая колеблется вдоль струны (рис. 443). При этом, несмотря на то, что ножка камертона не будет сообщать никаких поперечных движений точкам струны, а будет лишь периодически изменять ее натяжение,

Для того чтобы выяснить сущность явления параметрического возбуждения колебаний, вернемся к простейшему случаю колебаний маятника. Одним из параметров маятника, характеризующим свойства маятника как колебательной системы, является длина маятника. Параметрическое воздействие на маятник мы можем осуществить, периодически изменяя его длину, т. е. втягивая и выпуская нить, на которой висит маятник. Представим себе, что маятник уже совершает малые колебания и мы втягиваем нить всякий раз, когда маятник проходит через среднее положение, и настолько же выпускаем нить всякий раз, когда маятник проходит через крайние положения.

Для параметрического возбуждения колебаний принципиально необходимо, чтобы система уже совершала малые колебания. Однако вследствие неизбежных случайных толчков во всякой системе существуют малые собственные колебания. И если параметрическое воздействие происходит с надлежащей частотой, то эти малые колебания начинают нарастать (необходимое для этого соотношение фаз устанавливается само собой). Так как явление параметрического возбуждения наблюдается только при известных соотношениях между частотой внешнего воздействия и частотой собственных колебаний системы, то в этом отношении оно сходно с явлением резонанса. Поэтому его часто называют параметрическим резонансом.

В работах [1—3] проводились исследования автоколебательной системы с ограниченным возбуждением и переменным параметром при условии, что параметрическое воздействие зависит от свойств источника энергии, поддерживающего автоколебания, т. е. система является автономной. Автоколебательная система с источником энергии и параметрическим возмущением, явно зависящим от времени (неавтономная система), рассматривалась в работе [4], которая посвящена теоретическому анализу указанной системы. Сравнение результатов, полученных для автономной и неавтономной систем, позволило установить их общие и отличительные характеристики, специфические особенности, выявить ряд интересных эффектов, присущих таким системам.

В работах [1—3] проводились исследования автоколебательной системы с ограниченным возбуждением и переменным параметром при условии, что параметрическое воздействие зависит от свойств источника энергии, поддерживающего автоколебания, т. е. система является автономной. Автоколебательная система с источником энергии и параметрическим возмущением, явно зависящим от времени (неавтономная система), рассматривалась в работе [4], которая посвящена теоретическому анализу указанной системы. Сравнение результатов, полученных для автономной и неавтономной систем, позволило установить их общие и отличительные характеристики, специфические особенности, выявить ряд интересных эффектов, присущих таким системам.

Так как выше предполагали, что параметрическое воздействие не слишком интенсивно, то эти области можно рассматривать порознь, а затем суммировать спектральные плотности флюктуации, обусловленные разными областями. Рассматривая лишь флюктуации %L 2 (t) в полосе частот и — 0,г — йа <^ Qx, 2, можно отбросить члены х (0 е°'. 1 (0 е~2Ш ; X (0 е' (Q!!^QI) ' в уравнениях (5.78), (5.79).

Понятие о параметрических резонансах. Уравнение (1) имеет тривиальное решение q = 0, которое отвечает невозмущенному равновесию или невозмущенному периодическому движению системы. Пусть коэффициенты уравнений зависят от некоторых параметров, характеризующих свойства параметрического воздействия и (или) системы. При некоторых значениях параметров решение q = 0 может оказаться неустойчивым. Это означает, что имеет место параметрическое возбуждение колебаний механической системы. Множества точек, соответствующих неустойчивости, как правило, образуют области в пространстве параметров, которые называют областями неустойчивости (областями динамической неустойчивости) механической системы. Если параметрическое воздействие — периодическое и если среди варьируемых параметров содержатся частоты параметрического воздействия, то особый интерес представляет нахождение частотных соотношений, при которых наблюдается наиболее интенсивное параметрическое возбуждение. Эти частотные соотношения, как и возбуждаемые при этих соотношениях колебания, называют параметрическими резонансами.

Понятие о параметрически возбуждаемых случайных колебаниях. В гл. VII были рассмотрены параметрические колебания в линейных системах, возбуждаемые детерминистическими воздействиями В технических приложениях часто встречаются также случайные параметрические воздействия. Любой пример из первой части (гл. VII) можно сформулировать в терминах теории случайных колебаний, если параметрическое воздействие является случайной функцией времени.

Параметрическое возбуждение процессом со скрытой периодичностью. Параметрические резонансы возникают при выполнении определенных соотношений между частотами системы. Если параметрическое воздействие представляет собой случайный процесс со скрытой периодичностью, то можно ожидать, что аналогичные резонансные явления будут наблюдаться и в стохастической системе. Подробное обсуждение этого вопроса с использованием модифицированного метода моментных функций приведено в [15].

Большая часть результатов по теории параметрической стабилизации получена методом усреднения, предполагающим, что возмущенное движение вблизи неустойчивого равновесия может быть представлено в виде суммы "медленных" и "быстрых" движений. При исследовании устойчивости по "быстрым" движениям с одной степенью свободы область стабилизации на плоскости коэффициент параметрического возбуждения - частота возбуждения ограничена и, кроме того, включает такие участки границы, на которых разделение движений невозможно. Применительно к системам с большим числом степеней свободы необходимо, кроме того, учитывать, что параметрическое воздействие, стабилизирующее одни формы, будет дестабилизирующим по отношению к другим формам. Поэтому к выводам, полученным на основе метода усреднения и родственных приближенных приемов, следует относиться осторожно.

в котором и (t) — обобщенная координата; е — коэффициент демпфирования; Q — частота собственных колебаний; ц — параметр; Ф (t) — случайная функция, характеризующая параметрическое воздействие. Ставится задача об устойчивости тривиального решения уравнения (5.1) в вероятностном смысле.

получим параметрическое уравнение [1041з

На основании анализа ряда теоретических и экспериментальных работ [14, 35, 38, 50] и согласно физической модели (рис. 72) были выявлены параметры, влияющие на процесс теплообразования при ударе, и составлено параметрическое уравнение процесса удара

Если t — произвольный параметр, то г = г (t) — параметрическое уравнение кривой.

В векторной форме параметрическое уравнение имеет вид

Для обобщения экспериментальных данных по ползучести стали удобен параметрический метод [Л. 9]. Параметрическое уравнение ползучести в общем виде может быть записано как

параметрическое уравнение в векторной форме

параметрическое уравнение в векторной форме

ется большой шаг по вектору из, проведенному через точки А3 и As, и т. д. Параметрическое уравнение прямой, проходящей через две фиксированные точки Аз и А2 в й-факторном пространстве, имеет вид

Из приведенного следует, что описанием всего семейства исследуемых механизмов могут служить параметрическое уравнение (1) траектории движения цевки и сравнительные значения параметров 0, п, К, z, L.

(начальное условие). Параметрическое уравнение поверхности А1 = — }(г, т), задаваемое системой характеристик (6-41), при т=0, должно выродиться в параметрическое уравнение прямой (6-42):

Искомая поверхность Дг=/(г, т) должна удовлетворять граничному условию, т. е. пересекать плоскость (0, т, ДО по линии А* (О, т)=0. Параметрическое уравнение этой линии также определяется в соответствии с (6-41):