Параметрическое возбуждение

Разрешая эти соотношения относительно а и р, получаем параметрическое представление бифуркационной кривой Р = Р («):

смотрена динамика часовых ходов [31, построена теория релейных систем [4, 5], виброударных устройств [6] и систем с циклической автоматикой, изучена динамика экстремальных регуляторов и самонастраивающихся систем [7], сложных радиосхем — ламповых и транзисторных [8] и т. д. Успех в решении этих и других существенно нелинейных задач связан в значительной мере с возможностью кусочно-линейной аппроксимации нелинейностей, что позволяет получать аналитические выражения точечного отображения в явном или параметрическом виде. При кусочно-линейной аппроксимации нелинейностей фазовое пространство динамической системы может быть разбито на области DI, D2, ..., Dm, в каждой из которых поведение системы описывается системой линейных дифференциальных уравнений. Следовательно, в каждой из областей Dlt Dz, ..., Dm решение дифференциальных уравнений (4.1) находится без труда, а при переходе изображающей точки из одной области в другую решения «сшиваются» по непрерывности. Этот прием исследования, получивший название метода припасовывания, применялся вначале лишь для отыскания периодических движений. Его дальнейшее развитие и систематическое использование послужило одним из источников, из которых возник метод точечных отображений. Параметрическое представление функций последования, впервые введенное А. А. Андроновым, существенно увеличило «пробивную силу» метода точечных отображений и позволило в короткий срок решить большое число задач, долгое время остававшихся не исследованными. Итог большой работы, проделанной А. А. Андроновым, его сотрудниками и учениками, был подведен в книге А. А. Андронова, А. А. Витта и С. Э. Хайкина «Теория колебаний». Во втором издании этой книги, вышедшем под редакцией Н. А. Железцова, содержится описание метода точечных отображений в применении к динамическим системам второго порядка. В дальнейшем изучение точечных отображений, порождаемых фазовыми траекториями динамической системы, позволило с единой точки зрения рассмотреть такие, казалось бы, разнородные задачи, как движение блуждающей частицы, эволюция популяций, работа конечного автомата, математические модели уличного движения автотранспорта на перекрестке, динамика перцеп-трона, представляющего модель процесса обучения, и дру-

Эти два уравнения задают параметрическое представление кривой f(a). Кривая f(a) характеризует меры, описывающие распределение популяции и эквивалента последовательности показателей массы i(q). Пара уравнений (2.41) задает преобразование Лежандра от независимых переменных т и q к независимым переменным f и а.

Эти два уравнения задают параметрическое представление кривой f(a). Кривая f(a) характеризует меры, описывающие распределение популяции и эквивалента последовательности показателей массы t(q). Пара уравнений (2.41) задает преобразование Яежандра от независимых переменных т и q к независимым переменным f и а.

Параметрическое представление границы эллипса Х= =a-sin ф, Z=c-cos ф дает

В точке х — 3 первым способом было получено значение производной S' (3) = 5,85, вторым S' (3) = 5,87 при точном значении dyfdx = 6. Этот результат (N = 12 на х э Ю, 6]), естественно, может быть улучшен увеличением количества разбиений отрезка [0, 6], и всегда параметрическое представление будет давать более точное значение производной.

Совместно с равенством х — 1 (р) это соотношение даёт параметрическое представление общего интеграла. Исключая параметр р, получаем выражение для общего интеграла в обычной форме.

Совместно с равенством^ = f(p) это соотношение даёт параметрическое представление общего интеграла. Исключая параметр/*, получим выражение общего интеграла в обычной форме.

Последнее соотношение совместно с х = и (t) даёт параметрическое представление общего интеграла уравнения F(x, у') = 0.

4. Аналогично получается общий интеграл уравнения F (у, р) = 0, если переменные у, р допускают параметрическое представление у — и(1), p = v(t), причём F\u(t), v(t)} = (). Диференцируя по .х соотношение у — и (t), получим дкференциальное уравнение, связывающее переменные х, t, которое имеет общий интеграл

порядка промежуточных интегралов, достигаемого в результате применения операции интегрирования, в получающиеся при этом новые соотношения вводится новая произвольная постоянная. Первый из промежуточных интегралов, т. е. соотношение, содержащее одну произвольную постоянную, производные искомой функции до (п — 1)-го Порядка включительно и независимую переменную, называется первым интегралом данного диференциального уравнения и-го порядка. Если известны п различных, т. е. независимых, первых интегралов диференциального уравнения, то известен и общий интеграл уравнения, так как эти п первых интегралов можно рассматривать как параметрическое представление с помощью параметров у', у", . . , у(л - 1), общего интеграла исходного уравнения. Исключение производных у'... у(п—\) из найденных п первых интегралов приводит к выражению общего интеграла в обычной форме.

8. Параметрическое возбуждение колебаний Возбуждение колебаний механической системы изменением

Определение. Автоколебания маятника. Релаксационные колебания. Параметрическое возбуждение колебаний

Параметрическое возбуждение колебаний. Свойства колеблющихся систем описываются величинами, называемы-

§ 144. Колебания систем с двумя степенями свободы (628). § 145, Колебания связанных систем (631). § 146. Неодинаковые парциальные системы. Резонанс в связанных системах (638). § 147. Колебания замкнутых систем (643Ь § 148, Колебания в сплошных телах (650). § 149. Нормальные колебания упругого стержня (658). § 150. Нормальные колебания струны (67)). § 151» Поляризация поперечных колебаний (672). § 152. Параметрическое возбуждение колебаний (674).

§ 152. Параметрическое возбуждение колебаний

Параметрическое возбуждение колебаний происходит и в упомянутом выше случае периодического изменения натяжения струны, прикрепленной к ножке камертона (рис. 443). Если частота колебаний камертона вдвое больше частоты основного тона колебаний струны, то в струне возбуждается колебание, которому соответствуют два узла на концах струны (рис. 443, а). Если уменьшать натяжение струны, то частота колебаний камертона оказывается вдвое больше второго обертона, затем третьего и т. д. В струне возбуждаются колебания соответственно с узловой точкой посередине струны (рис. 443, б), с двумя узловыми точками (рис. 443, в) и т. д.

—, параметрическое возбуждение 674

усилитель электрич. сигналов, в к-ром мощность сигнала увеличивается за счёт энергии источника, периодически изменяющего значение к.-л. реактивного параметра системы (обычно ёмкости). В качестве реактивного элемента П.у. чаще всего используют параметрич. полупроводниковый диод. П.у. отличается очень малым уровнем внутр. шумов. Применяется в радиоприёмных устройствах как усилитель слабых сигналов, напр, в радиоастрономии и для связи с КА. ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ВОЗБУЖДЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ - возбуждение электро-магн. колебаний в колебат. системе в результате периодич. изменения значения к.-л. из её энергоёмких параметров, напр, ёмкости или индуктивности в колебат. контуре. П.в.к. наступает при определ. соотношениях между частотой собств. колебаний системы о>о и частотой изменения параметра соп. Наиболее благоприятно условие: о>п = 2о)о.

ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ВОЗБУЖДЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ — возбуждение колебаний, наступающее в колебат. системе в результате периодич. изменения значения к.-л. из «колебательных параметров» системы (т. е. параметров, от значений к-рых существенно зависят значения потенциальной и кинетич. энергий и периоды собств. колебаний системы). П. в. к. может происходить в любой колебат. системе, как в механич., так и в электрич., напр, в колебат. контуре, образованном конденсатором и катушкой индуктивности, при периодич. изменении ёмкости конденсатора или индуктивности катушки.

Советской школе физиков, возглавляемой Л. И. Мандельштамом и Н. Д. Папалекси (МГУ, ЦРЛ, ЛЭФИ), принадлежит основополагающая роль в разработке теории нелинейных колебаний и в приложении ее к большому числу радиотехнических задач (параметрическое возбуждение колебаний, самовозбуждение ламповых генераторов, трансформация частоты, создание селективных фильтров и др.).

Разделение источников вибраций (шумов). Этот важный класс задач состоит в обнаружении источников вибраций и шумов. Одна из них подробно рассмотрена в главе 4, где основное внимание обращено на количественную оценку вкладов источников. Есть, однако, и другие задачи этого класса, где требуется качественно определить главный источник или выявить преобладающий механизм возбуждения вибраций и шумов. В одной из таких задач [143, 155] рассматриваются квазилинейные колебательные системы с одной степенью свободы. По характеристикам выходного сигнала определяется тип источника — автоколебания, случайные или периодические, внешнее или параметрическое возбуждение. Задача решена на основе анализа функций распределения плотности вероятности квадрата амплитуды и фазы сигнала. В качестве информативных признаков, по которым производится распознавание системы, используются характеристики, определяющие вид функции плотности (количество максимумов, степень убывания функции и некоторые другие). Хотя это решение получено для системы с одной степенью свободы, оно может быть основой для анализа механизмов возбуждения вибраций и шумов в более сложных системах, в частности в зубчатом зацеплении.