Параметрическим резонансом

Уравнения (18.6) и (18.7) являются параметрическими уравнениями эвольвенты в полярных координатах.

Эти уравнения в общем случае определяют некоторую поверхность Nm с параметрическими уравнениями (7.17), где со изменяется от —оо до +оо, и особую поверхность N0, точки которой удовлетворяют уравнению

нечная часть плоскости, ограниченная произвольным числом k = 1,2, ... любых кривых линий, лежащих в этой плоскости (рис. 7.5). Пусть эти кривые линии заданы параметрическими уравнениями:

Вид траектории, описываемой центром сателлита 4, может быть определен параметрическими уравнениями:

Уравнения (2,29) и (2,30) являются параметрическими уравнениями эвольвенты.

Выведем уравнения плоских ограниченных поверхностей. Пусть в пространстве xyz произвольно ориентирована конечная часть плоскости, ограниченная произвольным количеством k =1, 2... любых кривых, лежащих в этой плоскости (рис. 30.5). Пусть эти кривые заданы параметрическими уравнениями;

Зубчатое колесо 3, входящее в зацепление с неподвижной зубчатой рейкой /, входит во вращательную пару L с крестообразным ползуном 2, скользящим в неподвижной направляющей Ь. Ползун 2 входит во вращательную пару Р с ползуном 5, скользящим вдоль оси Md Т-образного звена 4. Звено 4 входит во вращательную пару М с колесом 3, а траверза t — t скользит в крестообразном ползуне 7, оси которого взаимно перпендикулярны. Ползун 7 скользит вдоль оси An звена 6, вращающегося вокруг неподвижной оси А, находящейся на оси Ох на произвольном расстоянии ОА-а, Размеры механизма удовлетворяют условию ML-LP-r, где /• — радиус начальной окружности колеса 3. При поступательном движении ползуна 2 в направляющей Ъ колесо 3 перекатывается по рейке 1 и точка М описывает циклоиду q круга радиуса /•, параметрическими уравнениями которой будут х = гб — г sin В и у = г — /• cos 6. Точка D ползуна 7 будет описывать подеру (подошвенную кривую) s — s циклоиды q с центром в точке А, параметрические уравнения которой будут

Пусть в трехмерном пространстве, определяемом системой координат Охуг (рис. 5), дана прямая D. Положение этой прямой может быть задано относительно координат различными способами, среди которых широкой известностью пользуются приведенные здесь способы задания уравнениями двух пересекающихся плоскостей, симметричным уравнением [гл. 25, см. уравнения (2)—(4), гл. 23, уравнение (2)], а также параметрическими уравнениями, координатами двух точек и др.

чае, когда вращение шатуна относительно его оси вращения вполне определено. Кинематическая схема такого механизма показана на рис. 44 и соответствует схеме 5а (см. табл. 3). Со стойкой этого механизма связана неподвижная правая система координат Oxyz так, что ось Ох направлена вдоль оси вращения кривошипа О А, плоскость вращения которого совпадает с плоскостью yOz. При этом движение точки А определяется параметрическими уравнениями

ваны номограммы (фиг. 24, 25). Криволинейные шкалы номограмм определяются параметрическими уравнениями

Пример. Площадь 5 эллипса, заданного параметрическими уравнениями х = a cos t, у = Ь sin /, равн» учетверённой площади заштрихованной (фиг. 48) четверти ОАВ эллипса. Так как t = — для точки В и / — О для точки А, то

Для параметрического возбуждения колебаний принципиально необходимо, чтобы система уже совершала малые колебания. Однако вследствие неизбежных случайных толчков во всякой системе существуют малые собственные колебания. И если параметрическое воздействие происходит с надлежащей частотой, то эти малые колебания начинают нарастать (необходимое для этого соотношение фаз устанавливается само собой). Так как явление параметрического возбуждения наблюдается только при известных соотношениях между частотой внешнего воздействия и частотой собственных колебаний системы, то в этом отношении оно сходно с явлением резонанса. Поэтому его часто называют параметрическим резонансом.

Анализ уравнения (17.332) позволяет найти области комбинаций значений параметров, в которых тривиальное решение q = 0 неустойчиво. Иными словами, этот анализ позволяет найти ситуации, в которых сколь угодно малые возмущенные состояния равновесия вызывают процесс нарастания колебаний, называемый параметрическим резонансом.

Легко заметить, что неограниченное возрастание <7* принципиально возможно только за счет экспоненциального множителя, который, в свою очередь, может достичь бесконечно больших значений при z —» —оо. Такая возможность, как было установлено выше, имеется в резонансных зонах условного осциллятора. Подобный характер поведения системы свидетельствует о потере динамической устойчивости, когда малые возмущения могут привести к существенным изменениям движения системы. Действительно, при Л о = 0 имеем q^ = 0. Однако при отмеченных выше условиях достаточно малым возмущениям вызвать начальную амплитуду АЛ, чтобы при t-* оо получить q^ —» оо. Поскольку отмеченный эффект вызван определенным изменением параметров системы, его называют параметрическим резонансом (см. подробнее п. 27).

Наибольший интерес представляет область неустойчивости, которая лежит около частоты Q = 2йг, и называется главной областью динамической неустойчивости. Сплошные области, в пределах которых система становится неустойчивой, — специфическая черта параметрических систем. Резонанс системы, наступающий при частоте внешнего возмущения, равной устойчивой частоте собственных частот, называется основным параметрическим резонансом.

X ( cos рт -f- -5- sin PT ). Наряду с главным параметрическим резонансом (Р = 2Q2) наблюдается аналог второго параметрического резонанса при р = ?2. Теоретические результаты этого явления были отмечены в работе [12] и рассмотрены в гл. VI.

Столь резкое возрастание амплитуд пульсаций при переходе через состояние насыщения объясняется, по-видимому, параметрическим резонансом. Резонанс обусловлен кратностью (или совпадением) частот пульсаций независимых газодинамических процессов: образования и срыва вихрей, сопровождающегося системой волн сжатия и разрежения (рис. 3.11, в) и конденсационной турбулентностью (флуктуационный процесс). Существенное влияние формы кромки на интенсивность резонанса объясняется, по-видимому, поведением точек отрыва; на скругленной кромке точки

соответствуют параметрическим резонансом [9].

Уравнения (59) и (60) имеют решение q = 0, соответствующее положению равновесия системы Как и в линейных системах, параметрическое возбуждение может вызвать неустойчивость этого положения равновесия и появление колебательного процесса, называемого параметрическим резонансом. Однако, в отличие от линейных систем, параметрические колебания нелинейной системы обычно оказываются ограниченными по амплитуде, в системе устанавливается некоторый периодический процесс

В случаях со струной и маятником параметр натяжения нити изменялся дважды за период возбуждаемых колебаний. Однако можно изменять параметр один раз за период, два раза за три периода или. вообще, при выполнении условия р=2фо/п, где п =1, 2, 3, ... - частота изменения параметра; Ш0 - частота возбуждаемых колебаний. Энерго вложение в возбуждаемую систему будет тем меньше, чем больше п. Эти свойства характерны для параметрически возбуждаемых систем. Параметрическое возбуждение колебаний принято называть также параметрическим резонансом.

Оболочка камеры подвергается прямому воздействию возмущающих сил давления газов. При совпадении частоты собственных колебаний конструкции с частотой колебаний давления-наступает состояние резонанса. Амплитуды колебаний оболочки растут, что непосредственно сказывается на ее работоспособности. Резонансные колебания могут иметь и более сложную природу, когда переменное осесимметрич-ное давление газов вызывает изгибные (неосесимметричные) колебания оболочки ЖРД- Это явление называется параметрическим резонансом.

Анализ результатов позволяет сделать следующие выводы. Наряду с главным параметрическим резонансом (у = 2) появляется побочный резонанс при у — ' 1- При малых частотах (у <С 1) переход от устойчивости к неустойчивости носит квазимонотонный характер и определяется свободным членом характеристического уравнения (5.117). При частотах у > 1 характер неустойчивости становится колебательным и определяется главным минором Гурвица, Увеличение параметра широкополосности v, характеризующего нерегулярность изменения угла дифферента, приводит к тому, что гиротахометр становится менее чувствительным к параметрическим резонансам в окрестности у = 1 и у = 2. При этом колебательный характер его неустойчивости начинает проявляться и при частотах у <С I •

В задачах динамической устойчивости элементов машин и конструкций рассматриваются вопросы, смежные с вопросами теории колебаний и устойчивости деформируемых систем [94, 13], Если на прямолинейный стержень действует периодическая продольная нагрузка Р (т) == Р0 -f PT cos pt (рис. 8.10, а) и если амплитуда ее меньше статической критической силы, то стержень испытывает только продольные колебания. Однако при определенных соотношениях между частотой возмущающей силы р и частотой собственных поперечных колебаний со прямолинейная форма стержня становится динамически неустойчивой и сменяется быстро нарастающими по амплитуде поперечными колебаниями. Это явление называют параметрическим резонансом.