Параметрические уравнения

Отсюда следует, что при идентичных системах управления по координатам (параметрические возмущения отсутствуют) динамическая ошибка при обработке контура является инвариантной по отношению к углу поворота осей координат.

Постановка задачи такова: по измеренным значениям смещения спектра собственных частот найти смещение упругодисси-пативных параметров. В качестве предварительных этапов предусматривается решение задачи о собственных значениях и задачи идентификации. Вводится матрица чувствительности и линейная связь между частотным и параметрическим возмущением. Далее решается вариационная задача оптимизации скалярного функционала качества. В результате получено векторно-матричное алгебраическое уравнение, в котором с целью сжатия информации используются матрицы Грама. Имея в распоряжении экспериментальные данные о смещении частот, можно вычислить параметрические возмущения. Аналогичная процедура оценки параметрических возмущений может быть построена по измеренному смещению фазы механического импеданса [5].

На рис. 71 показана структурная схема уравнения (6.57) при е = 0. Из уравнения (6.57) и рис. 71 видно, что параметрические возмущения вносят дополнительные воздействия на систему с постоянными параметрами. Уравнениями вида (6.57) описываются движения динамических систем с обратными связями. С помощью структурной схемы, показанной на рис. 71, удобно осуществлять статистическое моделирование параметрических систем.

i, /, ^, q, p — 1-нб — количество степеней свободы тела; xt — обобщенная координата, описывающая колебания тела в i-ом главном направлении пространства; Ft (t) — внешнее возмущение в i-ом направлении пространства; р\-и wt. — параметры динамической системы; /...(...) — нелинейные функции; T)I(- (t) nr\zi (t) — параметрические возмущения в t'-ом направлении пространства, которыми для рассматриваемой задачи являются нелинейные перекрестные связи системы (8.1) — (8.2) в виде произведения нелинейных функций.

В подобных нестационарных условиях с неопределенностью воспользоваться синтезированными законами программного управления, строго говоря, нельзя. Если все же использовать эти законы, предварительно заменив в них неизвестные параметры ? некоторыми правдополобными оценками т, то в замкнутой двигательной системе РТК возникнут неконтролируемые параметрические возмущения. Действие этих возмущений (в сочетании с начальными и постоянно действующими внешними возмущениями) может привести к нежелательным динамическим эффектам — снижению точности отработки ПД, автоколебаниям или неустойчивости.

Качество управления РТК определяется характером переходных процессов. В свою очередь, вид переходного процесса в РТК зависит от ряда факторов. Наибольшее влияние на качество управления оказывают начальные возмущения е (t0) = х (t0) — х0 (t0), неконтролируемые постоянно действующие возмущения л (/) и неизвестные параметрические возмущения со (t) — (/) — т (f). Степень влияния указанных факторов на характер переходных процессов существенно зависит от вида закона управления, реализуемого в системе управления РТК- Так, например, в случае жесткого программного управления (3.9) даже небольшие начальные, постоянно действующие и параметрические возмущения обычно приводят к неудовлетворительному характеру переходных процессов: динамическая ошибка е (t) \\ с течением времени возрастает.

обеспечило бы точное отслеживание заданной программной траектории. Однако на практике почти всегда имеются начальные и параметрические возмущения. Поэтому, строго говоря, воспользоваться управлением (5.2) нельзя. Если все же им воспользоваться, подставив вместо неизвестного вектора ? некоторую его оценку т, то неизбежно возникнут автоколебания или даже потеря устойчивости. Вследствие этого программная траектория qr(t) не будет отслежена, а робот может оказаться в аварийном состоянии. Таким образом, приходится констатировать, что программное управление (5,2) неэффективно, а в ряде случаев практически неприемлемо, Возникает необходимость в синтезе законов управления по принципу обратной связи. Простейший закон такого типа легко синтезируется на основании формулы (5,2) и имеет вид [107, 1121

2) неконтролируемые параметрические возмущения могут приводить к автоколебаниям и неустойчивости программной траектории [особенно этот вывод касается законов управления (5.2), (5.3) и (5.8)1;

Сначала предполагалось, что параметрические возмущения отсутствуют, т. е. т = . Управление формировалось согласно формуле (5.12), где 1\ = — 21, Г2 = — /, / — единичная 3x3-матрица. Характер затухания динамической ошибки в процессе позиционирования представлен на рис. 5.1. Как видно из рисунка, динамические ошибки по каждой координате меняются одинаково, что соответствует диагональному виду матриц коэффициентов усиления Г\ и Г2. В этом случае уравнение динамики манипулятора (5.1), (5.12) распадается на три независимых одинаковых линейных дифференциальных уравнения второго порядка по каждой обобщенной координате. Благодаря этому обеспечивается полная нейтрализация перекрестных связей в каналах управления.

Следует, однако, иметь ввиду, что без самонастройки параметров регулятора обеспечить наперед заданный характер переходных процессов в этих условиях, вообще говоря, не удается. В то же время параметрические возмущения практически неизбежны. Они обусловлены тем, что точные значения параметров робота и груза могут отличаться от паспортных данных и обычно неизвестны. Более того, они могут дрейфовать в процессе эксплуатации робота непредсказуемым образом. Поэтому возникает необходимость дополнить синтезированный регулятор средствами адаптации (самонастройки).

При этом блочная матрица коэффициентов усиления (5.43) устойчива и имеет одинаковые собственные числа, равные —10. Последнее число характеризует запас устойчивости такой системы. Если все параметры ? известны, то регулятор (5.44) обеспечивает желаемый вид переходного процесса, изображенный на рис. 5.17, а штрих-пунктирной линией. Если же масса груза и другие компоненты вектора параметров ? неизвестны, то переходный процесс под действием регулятора (5.44), рассчитанного на «номинальную» нагрузку (соответствующую грузу массой 0,5 кг), ухудшается. На рис. 5.17, а он изображен штриховой линией и наглядно демонстрирует снижение точности и быстроты позиционирования. Причиной этого являются параметрические возмущения. Для их компенсации использовался адаптивный закон управления вида (5.48), (5.53), причем в качестве алгоритма адаптации использовался рекуррентный локально-оптимальный алгоритм (5.50). Как

где со ,= У 1 — б2; А, а — произвольные постоянные. Сог-л_.асно этому решению, параметрические уравнения траекторий на фазовой плоскости ху имеют вид

Подставляя в уравнение А = 0 выражения (3.11) и учитывая (3.8), получим параметрические уравнения для границы седел, на плоскости х0у0, совпадающие с уравнениями (3.10). Таким образом, граничная кривая области параметров, при которых в системе имеется три состояния равновесия, совпадает с кривой рождения (или исчезновения) седловой особой точки.

Подставляя далее выражения (3.11) в уравнение а = О, получаем параметрические уравнения

где а/, 6/, с/ — известные постоянные коэффициенты. Затем находятся параметрические уравнения, выражающие «!, их и м2, и2 через величины и', и'.

Подставляя сюда выражения входящих в эти соотношения величин и (т), MI, VT, (т), VT,, получаем параметрические уравнения границы

Для аналитического описания полей линий скольжения нами в работах /4, 9, 23/ были выполнены решения, на основе которых получены параметрические уравнения линий скольжения для случая плоской и осесимметричной деформации, а также при двухосном нагружении. В частности для случая плоской деформации в работе /4/ показано, что линии скольжения представляют собой семейство циклоид с радиусом производящего их круга

Используя полученные характеристические соотношения (3.25), параметрические уравнения линий скольжения (3.21) и (3.22), а также соотношения (3.20), вытекающие из кругов Мора, были получены выражения для определения напряжений т^, Gy и Ох в мягкой прослойке в условиях ее двухосного нагружения

Уравнения (9.10) и (9.12) представляют собой параметрические уравнения эвольвенты в полярных координатах с параметром ау. Если из этих уравнений исключить параметр ав, то зависимость между параметрами 6^ и ги будет выражена через радиус тъ основной окружности. Таким образом, форма эвольвенты зависит только от радиуса Гь ее основной окружности. Профильный угол ау зуба и радиус кривизны ру эвольвенты в точке возврата А равны нулю. С увеличением угла % и радиуса гь кривизна эвольвен-

Для аналитического описания полей линий скольжения нами в работах /4, 9, 23/ были выполнены решения, на основе которых получены параметрические уравнения линий скольжения для случая плоской и осесимметричной деформации, а также при двухосном нагружении. В частности для случая плоской деформации в работе /4/ показано, что линии скольжения представляют собой семейство циклоид с радиусом производящего их крута

Используя полученные характеристические соотношения (3.25), параметрические уравнения линий скольжения (3.21) и (3.22), а также соотношения (3.20), вытекающие из кругов Мора, были получены выражения для определения напряжений T™, <5у и <Х<. в мягкой прослойке в условиях ее двухосного нагружения

выходящей за пределы сечения. Пусть центр кручения совпадает с точкой 0. Запишем параметрические уравнения кривой, соединяющей точки Р и Q с началом отсчета переменной s от точки Р в виде Xi = xi (s), #2 = ?2 (s). Тогда интегрирование равенства (74) вдоль кривой, соединяющей точки, дает