Однородного анизотропного

В результате получаем однородное уравнение

которому соответствует однородное уравнение

После перехода к безразмерной температуре однородное уравнение примет вид

где 1(л) = Т1(л-его общее решение. Неоднородное уравнение

Это неоднородное линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Соответствующее однородное уравнение

Каждой точке М отвечают значения Я,, Р%, РЪ> РЬ определенные с точностью до общего множителя. Линейное однородное уравнение относительно-PI, Р% РЙ> Pi определяет плоскость, расстояния которой от четырех вершин пропорциональны коэффициентам при Рь Р2, Ps, P4. Если эти коэффициенты равны, то плоскость уходит в бесконечность. Поверхность порядка т представляется однородным уравнением т-го порядка относительно PJ, Р%, Р& Р±.

Если под k понимать выражение, определяемое следующей формулой: ''k = y\P\/(EIx), то однородное уравнение, соответствующее (13.23)*, запишется так:

-gj- = k*, получим линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами

Это линейное однородное уравнение вместе с однородными граничными условиями описывает изгибную форму равновесия стержня, смежную с исходной.

Это линейное однородное уравнение четвертого порядка является основным уравнением теории устойчивости прямых упругих стержней. Оно применимо при любых законах изменения жесткости EJ (х), при любых нагрузках и условиях закрепления, охватываемых сформулированными выше допущениями.

где N0 = N0 (x) — закон изменения УI начальных внутренних усилий в неискривленном стержне при Р = 1. Таким образом, определение условий существования изгибных форм равновесия первоначально прямолинейного стержня свелось к решению задач на собственные значения. Для того чтобы найти условия существования изгибных форм равновесия, смежных с исходной прямолинейной формой, необходимо найти значения параметра нагрузки Рп, при которых однородное уравнение (3.4')

Зависимость между деформациями и напряжениями для однородного анизотропного слоя определяется с помощью матрицы податливости

Определяющие уравнения для однородного анизотропного слоистого материала симметричной структуры, нагруженного в плоскости слоев, записаны Аштоном с соавторами [1] через расширенную матрицу жесткости:

Qtjs — секущие коэффициенты матрицы жесткости SCFf — коэффициент концентрации напряжений, в волокнах SCFm — коэффициент концентрации напряжений в матрице Stj — коэффициенты матрицы податливости для однородного анизотропного слоя S — среднее квадратическое отклонение Ui — инварианты, являющиеся функциями (?,•/ U (у, z) — перемещения, вызывающие деформации поверхности, измеряемые методом Муара Vf — объемное содержание волокон V.V. — содержание пустот (%)

Используемое здесь значение ?ext — то же, что и для бесконечной системы волокон с квадратной упаковкой. На графике показаны также значения, определенные из кривых работы [7], в которой представлено решение задачи теории упругости для одно-и трехрядного композита. Видно, что приближенные результаты хорошо согласуются с результатами точного решения. Кривая, отмеченная надписью «эффективный модуль», построена при помощи вычисления, основанного на обычном подходе, т. е. на предположении однородного анизотропного тела, характеризуемого эффективными модулями композита. Приближенные результаты быстро сходятся к этой величине для умеренных значений N и асимптотически приближаются к ней при больших N, поскольку

В определении эффективных упругих модулей неявно предполагается существование макроскопически однородного напряженного состояния. Чтобы получить некоторое понятие о применимости подобного описания, основанного на том, что слои можно считать состоящими из однородного анизотропного

Будем считать, что изображенная на рис. \,а призма состоит из локально однородного анизотропного материала, характеризующегося локальными коэффициентами жесткости Сц. В том случае, когда рассматривается композит, например армированная волокнами матрица, сами C,j, по крайней мере в первом приближении, представляют собой эффективные модули, устанавливающие связь между усредненными по объему матрицы и включений значениями компонент тензоров напряжений и деформаций1). Локальные значения Сц в этом случае можно найти при помощи микромеханического исследования, как будет показано в гл. 3 и 6.

Далее, при детальном рассмотрении вида распространения трещины мы отметили, что направление, в котором совпадает направление вектора напряжения с направлением вектора прочности, определяет случайное или ориентированное направление скачкообразного распространения трещины при симметричном и антисимметричном нагружениях соответственно. Неоднородность в кончике трещины, т. е. наличие оставшихся целыми волокон, образующуюся при этих видах распространения трещины, можно проанализировать при помощи математической модели, в которой эффект неоднородности учтен в эквивалентных граничных условиях. Таким образом, исследование при помощи математической модели сводится к решению задачи для однородного анизотропного материала. Заметим, что данная идеализация по существу аналогична гипотезе самосогласованного поля в физике. Показано также, что эта модель пригодна для предсказания роста трещины при повторных нагружениях.

Во-вторых, для слоистых углепластиков и боропласти-ков на эпоксидном связующем наблюдается аномальная зависимость эффективного коэффициента концентрации напряжений от размера кругового отверстия. Обнаруженный эффект несовместим с моделированием слоистого композита как однородного анизотропного упругого материала, поскольку размер кругового отверстия в бесконечной пластине из такого материала не влияет на теоретический коэффициент концентрации напряжений.

свойств композитов, на сегодняшний день проектирование и анализ практически всех конструкций из этих материалов осуществляются именно с позиций представления слоя как однородного анизотропного материала.

Надлежащий выбор системы координат позволяет существенно упростить исходные матрицы податливости и жесткости, если материал обладает симметрией упругих свойств. Рассмотрим, например, композиционный материал, состоящий из упругого связующего, регулярно армированного в одном направлении упругими волокнами (рис. 1.2). Для описания деформационных свойств такого материала можно воспользоваться моделью однородного анизотропного упругого тела. В произвольно ориентированной системе координат матрица податливости (и жесткости) будет целиком заполненной, а число подлежащих определению независимых коэффициентов не ясным. В системе координат (хъ х2, х3) плоскость (хг, х3) можно считать плоскостью упругой симметрии; матрица коэффициентов податливости в этом случае будет иметь структуру (1.11). Еще более полно симметрия упругих свойств рассматриваемого материала выявляется в системе координат (х'\, х'2, #j): плоскость (х'\, х'2) тоже можно считать плоскостью упругой симметрии. Следовательно, теперь все координатные плоскости — плоскости упругой симметрии, материал является ортотропным и матрица коэффициентов податливости имеет структуру (1.12). Более того, при равномерном распределении армирующих волокон допустимо считать, что упругие свойства во всех направлениях в плоскости (х{, х'2) идентичны. Теперь становится ясным, что рассматриваемый материал является трансверсально изотропным, матрицы его коэффициентов податливости имеют вид (1.16) и (1.17), а число подлежащих определению независимых коэффициентов, полностью характеризующих упругие свойства, равно пяти.

Для поликристаллических материалов сферическая форма является статистически средней по различным формам зерен и ее целесообразно принять в качестве первого приближения. Радиус сферы можно не конкретизировать, хотя для заполнения определенного объема поликристалла радиус сферических зерен должен меняться от некоторого конечного до исчезающе малого значения. Каждое зерно считаем однородным монокристаллом, обладающим в общем случае анизотропией теплопроводности, температурной деформации и упругих характеристик (см. § 2.2). При хаотической ориентации анизотропные зерна образуют поликристалл с изотропными свойствами. Поэтому в первом приближении вместо взаимодействия анизотропных зерен между собой будем рассматривать взаимодействие отдельно взятого однородного анизотропного сферического включения с изотропной окружающей средой. Влияние такого включения на температурное и напряженно-деформированное состояния среды быстро уменьшается с увеличением расстояния от включения. Поэтому при малых размерах зерен объем окружающей среды в таком случае можно считать неограниченным.

Надлежащий выбор системы координат позволяет существенно упростить исходные матрицы податливости и жесткости, если материал обладает симметрией упругих свойств. Рассмотрим, например, композиционный материал, состоящий из упругого связующего, регулярно армированного в одном направлении упругими волокнами (рис. 1.2). Для описания деформационных свойств такого материала можно воспользоваться моделью однородного анизотропного упругого тела. В произвольно ориентированной системе координат матрица податливости (и жесткости) будет целиком заполненной, а число подлежащих определению независимых коэффициентов не ясным. В системе координат (хъ х2, х3) плоскость (хг, х3) можно считать плоскостью упругой симметрии; матрица коэффициентов податливости в этом случае будет иметь структуру (1.11). Еще более полно симметрия упругих свойств рассматриваемого материала выявляется в системе координат (х'\, х'2, #j): плоскость (х'\, х'2) тоже можно считать плоскостью упругой симметрии. Следовательно, теперь все координатные плоскости — плоскости упругой симметрии, материал является ортотропным и матрица коэффициентов податливости имеет структуру (1.12). Более того, при равномерном распределении армирующих волокон допустимо считать, что упругие свойства во всех направлениях в плоскости (х{, х'2) идентичны. Теперь становится ясным, что рассматриваемый материал является трансверсально изотропным, матрицы его коэффициентов податливости имеют вид (1.16) и (1.17), а число подлежащих определению независимых коэффициентов, полностью характеризующих упругие свойства, равно пяти.