Неограниченно растворяются

Чтобы завершить доказательство теоремы, нам осталось доказать лишь, что Е^ не может быть положительным числом. Предположим обратное, т. е. допустим, что Ет^>0. Условие ? = = ?ет > 0 выделяет в фазовом пространстве гиперповерхность S, и если в процессе движения Е (t) -+Eca>Q, то это означает, что движение Р неограниченно приближается к поверхности S. Действительно, так как изображающая точка (q(t), q(t)) при движении Р расположена в а-окрестности, то, выбирая произвольную последовательность моментов времени /^—»-со (k—>-оо),

АСИМПТОТА (от греч. asymptotes — несовпадающий) кривой линии с бесконечно простирающейся ветвью — прямая, к к-рой эта ветвь неограниченно приближается, напр. А. гиперболы. График затухающих колебаний приближается к своей А., пересекая её (см. рис.).

В этом случае точка неограниченно приближается к отталкивающему центру, никогда его не достигая, так как при неограниченном возрастании времени абсцисса х .стремится к нулю.

Скорость неограниченно уменьшается по мере того, как точка неограниченно приближается к началу О. Но она не может достигнуть его за

а это выражение неограниченно возрастает, когда х стремится к- нулю. Точка О отличается той особенностью, что она является положением неустойчивого равновесия; движущаяся точка, помещенная в начало О без начальной скорости, останется в покое; но если ее немного удалить, то отталкивание удалит ее еще больше. Чаще всего, когда движущаяся точка приближается к положению неустойчивого равновесия со скоростью, стремящейся к нулю, она к этому положению неограниченно приближается, никогда его не достигая.

В рассматриваемом случае между обоими центрами имеется положение неустойчивого равновесия Е. Если точка не находится в этом положении и ей сообщается начальная скорость в направлении этого положения, достаточно большая для того, чтобы она прошла через это положение, то она упадет во второй притягивающий центр. Если скорость точки обратится в нуль до того, как она достигнет положения Е, то она упадет в первый притягивающий центр. Если, наконец, алгебраическое значение скорости обращается в нуль в точке Е, то движущаяся точка неограниченно приближается к ? со скоростью, стремящейся к нулю, но никогда этого положения не достигнет.

Постоянная интегрирования равна нулю, так как t должно обращаться в нуль одновременно с 6. Когда t неограниченно возрастает, 6, возрастая, стремится к пределу тс; движущаяся точка неограниченно приближается к наивысшему положению, никогда его не достигая. Оно является положением неустойчивого равновесия.

Рис. 18.2. Интерпретация по Ляпунову устойчивости положения равновесия системы на примере системы с одной степенью свободы при использовании фазового пространства. «Параллелепипед» с ребрами 26i и 26, (6-параллелешшед) — область начальных возмущений (начальное возмущение —совокупность 5 и j при t = 0 — отмечено крестиком). «Параллелепипед» с ребрами 2ei и 2вг (е-параллелепипед)—область отклонений системы от проверяемого на устойчивость положения равновесия при неограниченном возрастании промежутка времени, начиная от момента начального возмущения: 1 — фазовая траектория движения, вызванного начальным возмущением системы из положения устойчивого ее равновесия (фазовая траектория — замкнутая линия, не выходящая за пределы е-параллелепипеда); 2—фазовая траектория движения, вызванного начальным возмущением системы из положения неустойчивого ее равновесия (фазовая траектория выходит за пределы е-параллелепипеда); 3—фазовая траектория движения, вызванного начальным возмущением системы из положения асимптотически устойчивого ее равновесия (фазовая траектория, не выходя за пределы е-параллелепипеда, неограниченно приближается к началу координат).

Касательная и нормаль. Касательная к линии в точке Мопределяется как предельное положение секущей ММ', когда точка М' неограниченно приближается к точке М (фиг. 135). Если а — угол касательной с осьюлг, то

от функции f(x) не'стремится к нулю по мере увеличения числа входящих в неё членов ряда. Точка наибольшего отклонения 5„ (х) от / (х) при увеличении л неограниченно приближается к точке разрыва функции f(x).

(см. стр. 262). При <р —- оо кривая неограниченно приближается к полюсу. При И. И. Корнилов, систематизируя экспериментальные данные, показал, что неограниченно растворяться в железе могут только те элементы, атомные размеры которых отличаются от атомных размеров железа не больше чем на 8%. Другие металлы (например, медь) образуют непрерывные ряды твердых растворов при различии атомных радиусов до 10—11%, а легкоплавкие элементы, имеющие малый модуль упругости (например, селен и теллур), неограниченно растворяются друг в друге при разнице атомных радиусов до 17%.

Если два компонента неограниченно растворяются в жидком и твердом состояниях, то возможно существование только двух фаз — жидкого раствора L и твердого раствора а. Следовательно, трех фаз быть не может, кристаллизация при постоянной температуре не наблюдается и горизонтальной линии на диаграмме нет.

Например, неограниченно растворяются в твердом состоянии следующие металлы с г. ц. к. решеткой: Ag и Аи (t±R ~ 0,2 /о),

В жидком состоянии большинство металлов неограниченно растворяются один с другом образуя однофазный жидкий раствор. Только некоторые металлы (например, железо со свинцом, медь со свинцом) почти полностью не растворимы в жидком состоянии и разделяются по плотности, образуя два несмешивающихся слоя.

Образование только двух фаз — жидкого L и твердого а-раствора возможно, когда два компонента неограниченно растворяются в жидком и твердом состояниях. Кристаллизации при постоянной температуре не происходит, горизонтальная линия на диаграмме отсутствует.

щие в смеси второй группы, неограниченно растворяются с маслами.

Например, неограниченно растворяются в твердом состоянии следующие металлы с ГЦК-решеткой: Ag и An (AR = 0,2 %), Ni и Си (AR = 2,7 %), Ni и Rd (AR = 10,5 %) и др., а также металлы с ОЦК-решеткой: Мо и W {AR = 9,9 %), V — Ti (AR = = 2 %). Такие металлы, как Na, Са, R, Pb, Sr и другие, имеющие большой атомный диаметр, в FeT, Cu, Ni нерастворимы. Однако даже при соблюдении перечисленных условий непрерывный ряд твердых растворов может не возникнуть. Твердые растворы внедрения образуются только в тех условиях, когда диаметр атома растворенного элемента невелик.

Изоморфные р-стабилизаторы Мо, V, Та, Nb, имеющие, как и Tig, кристаллическую решетку объемно-центрированного куба, неограниченно растворяются в Tig (см. рис. 4,6). Сг, Мп, Fe, Ni, W, Си и другие образуют с ти; таном диаграммы состояния с эвтек-тоидным распадом (рис. 4, в). В некоторых сплавах (Ti—Мп, Ti—Сг, Ti—Fe) при охлаждении в условиях, отлича-

Литературные данные о системе Fe—Ir приведены в работах [X, Э, Ш] и обобщены в работах [1—3]. Fe и Ir неограниченно растворяются друг в друге при высоких температурах. Ликвидус системы при добавлении Ir к Fe повышается до перитектической температуры

С кремнием кальций образует три соединения (рис. 18): силицид Ca2Si существует при температурах <910°С в твердых равновесных сплавах, содержащих >60 % Са; CaSi кристаллизуется в области 78— 42% Са непосредственно из жидкого расплава при 1245 °С; CaSi2 существует при температурах <980 °С в твердых сплавах, содержащих <42 % Са, и в твердых сплавах, содержащих 60—42 % Са, при температурах <1020°С. При застывании промышленных сплавов, содержащих >30 % Са, первыми выделяются столбчатые кристаллы CaSij (41,7 % Са), а в эвтектике выделяются T = FeSi + Al + Si. При содержании <23 % Са в первой фазе выделяется кремний (в виде игл и частично широких пластин), a CaSJ2 находится в эвтектике. Наиболее прочным силицидом является CaSi (АЯ2д8 =•—150,7 кДж/моль), который плавится без разложения. Для CaSi2 и Ca2Si теплота образования равна соответственно —150,72 и —209,34 кДж/моль. Кальций и железо взаимно не растворяются. Вместе с тем в жидком состоянии и железо, и кальций в отдельности неограниченно растворяются кремнием. С серой кальций дает прочный сульфид CaS (ДЯ^дв =—460,55 кДж/моль) и с фосфором фосфиды Са3Р2, СаР и CaPs.

С кремнием кальций образует три соединения (рис. 18): силицид существует при температурах <910°С в твердых равновесных сплавах, содержащих >60 % Са; CaSi кристаллизуется в области 78— 42% Са непосредственно из жидкого расплава при 1245 °С; CaSiz существует при температурах <980 °С в твердых сплавах, содержащих <42 % Са, и в твердых сплавах, содержащих 60—42 % Са, при температурах <1020QC. При застывании промышленных сплавов, содержащих >30 % Са, первыми выделяются столбчатые кристаллы CaSij (41,7 % Са), а в эвтектике выделяются T = FeSi + Al + Si. При содержании <23 % Са в первой фазе выделяется кремний (в виде игл и частично широких пластин), a CaSJ2 находится в эвтектике. Наиболее прочным силицидом является CaSi (AW2g8 =•—150,7 кДж/моль), который плавится без разложения. Для CaSi2 и Ca2Si теплота образования равна соответственно —150,72 и —209,34 кДж/моль. Кальций и железо взаимно не растворяются. Вместе с тем в жидком состоянии и железо, и кальций в отдельности неограниченно растворяются кремнием. С серой кальций дает прочный сульфид CaS (ДЯ298 =—460,55 кДж/моль)