Неограниченном увеличении

Что касается общего решения однородной системы q*, то оно находится по общим правилам интегрирования линейных однородных уравнений и в рассматриваемом случае движения вблизи положения асимптотически устойчивого равновесия заведомо стремится к положению равновесия при неограниченном возрастании времени /. В связи с этим движение q(t) стремится в пределе к движению q** (t), которое обусловлено наличием в правых частях уравнений зависящей явно от времени вынуждающей силы Q1 (t). Движения q*, которые бы возникали при отсутствии такой вынуждающей силы, называются свободными. Если этими движе-

где р (х (t), х*) — расстояние между фазовыми точками с координатами х (t) и х*. Состояние равновесия называется асимптотически устойчивым, если в дополнение к сказанному величина р стремится к нулю при неограниченном возрастании времени. Характер особой точки определяется характером поведения фазовых траекторий в ее малой окрестности. Рассмотрим фазовый портрет в окрестности состояния равновесия на примере динамической системы, которая описывается тремя дифференциальными уравнениями:

Пользуясь этим соотношением, по начальной плотности вероятности можно шаг за шагом найти плотность вероятности после первого преобразования, затем после второго, третьего и т. д. Оказывается, что вне зависимости от начальной функции ср (,v) функция плотности вероятности на п-м шаге ср., (х) стремится при неограниченном возрастании п к единице. Таким образом, после достаточно большого числа преобразований все значения х становятся равновероятными, точнее, вероятность нахождения точки х в любом интервале зависит только от его длины.

Точно так же и другие точки Р[, Р\, . . . , Р^ первой центроиды лежат соответственно на лучах ОгМг, O^MV . . . , О^М^\ образующих с лучом О^М0^ углы срх = срг (tj, cpx = ^ (/2), . . . , <р5"' = срх (tn) на расстояниях от центра О1г равных ОгР[ = - OjP;, (у>Г = ОгР' ..... Ot/f > = Oj/f >. Совокупность точек Р[, Р[, Р±, . . . , Р^ при неограниченном возрастании п и неограниченном убывании промежутков между любыми двумя смежными моментами времени образует относительную центроиду на первом звене. Аналогично можно построить относительную центроиду на втором звене. Если обоим звеньям придать форму найденных центроид, то при вращении первого из них по заданному закону движения 9j = сра (t) второе звено будет вращаться по закону '

критическая угловая скорость возникает при неограниченном возрастании прогиба у:

В этом случае точка неограниченно приближается к отталкивающему центру, никогда его не достигая, так как при неограниченном возрастании времени абсцисса х .стремится к нулю.

При исследовании формы кривой необходимо различать два случая в зависимости от того, положительно или отрицательно ц (отталкивание или притяжение). Если ц положительно, то кривая может иметь бесконечные ветви, что видно из того, что при неограниченном возрастании г вели-

Начиная от значения k, r может неограниченно возрастать без нарушения вещественности 6; при этом 6, возрастая вместе с г, будет иметь некоторый предел, так как при неограниченном возрастании г подынтегральное выражение стремится к нулю, как и —. Этот предел Ф будет

"2"(1~т"т) и "9'(Ч~"д")> каждь'й из которых больше чем те/2. Если начальная скорость очень велика, то оба эти предела будут очень близки к и. Действительно, при неограниченном возрастании t/0 величины А и С2 также неограниченно возрастают, и уравнение <р (г) = 0 после деления всех его членов на А принимает вид

Согласно закону больших чисел величина \ стремится к математическому ожиданию случайной величины при неограниченном возрастании числа наблюдений. (Здесь и далее предполагается, что выборка однородна и наблюдения независимы.) Выборочные оценки, сходящиеся по вероятности к соответствующим характеристикам закона распределения, называются состоятельными оценками.

Рис. 18.2. Интерпретация по Ляпунову устойчивости положения равновесия системы на примере системы с одной степенью свободы при использовании фазового пространства. «Параллелепипед» с ребрами 26i и 26, (6-параллелешшед) — область начальных возмущений (начальное возмущение —совокупность 5 и j при t = 0 — отмечено крестиком). «Параллелепипед» с ребрами 2ei и 2вг (е-параллелепипед)—область отклонений системы от проверяемого на устойчивость положения равновесия при неограниченном возрастании промежутка времени, начиная от момента начального возмущения: 1 — фазовая траектория движения, вызванного начальным возмущением системы из положения устойчивого ее равновесия (фазовая траектория — замкнутая линия, не выходящая за пределы е-параллелепипеда); 2—фазовая траектория движения, вызванного начальным возмущением системы из положения неустойчивого ее равновесия (фазовая траектория выходит за пределы е-параллелепипеда); 3—фазовая траектория движения, вызванного начальным возмущением системы из положения асимптотически устойчивого ее равновесия (фазовая траектория, не выходя за пределы е-параллелепипеда, неограниченно приближается к началу координат).

1. Оценка должна быть состоятельной, т.е. должна сходиться по вероятности к оцениваемой величине при неограниченном увеличении объема реализации случайных функций.

Уравнение вида (18.1) позволяет определять критическую па-грузку для всего диапазона изменения длины трещины. В продельных случаях результаты, полученные для критической нагрузки, совпадают с таковыми, полученными по обоим указанным критериям разрушения, а именно, при неограниченном увеличении длины трещины результаты, получаемые по всем трем критериям, одинаковы. С уменьшением длины трещины критерий (3.9) исключается, а два других при / = 0 дают совпадающий результат (о, = ов). Поэтому предлагаемый критерий разрушения, представленный пока уравнением вида (18.1), следует рассматривать как удачную возможность объединения достоинств двух известных критериев, с исключением их недостатков. В то же время в проделе (/--*- О, I-*-ж) рассматриваемый критерий переходит в известные.

Функцию А(а) определим из того условия, что скорость трещины достигает максимального значения при неограниченном увеличении длины тре-

На рис. П. 16 показано качественное поведение функции Ф,(тг) для ряда значений т(т>\). Функция Ф^тг) при любом т " удовлетворяет условию (11. 144). При неограниченном увеличении т получаем функцию со следующими свойствами (рис. П. 17):

уменьшается на е0 — величину начальной деформации. После этого деформация с течением времени асимптотически убывает до некоторой остаточной деформации еда (эта ветвь подобна перевернутой ветви / на рис. 6.12). В некоторых частных случаях ею может быть равна нулю и, следовательно, при неограниченном увеличении времени первоначальные размеры полностью восстанавливаются. Описанное явление носит название упругого последействия.

При подъеме коромысла на сторонах MiCt строим углы, равные Ymin с вершинами в точке М,-. Если .ось вращения поместить в любой точке, расположенной слева от прямой, которая лежит ниже всех проведенных прямых, то, как было доказано выше, углы передачи у во всех положениях будут удовлетворять неравенству у > Ymin- В проведенном построении (рис. 170) зона расположения оси вращения кулачка лежит слева от заштрихованной части ломаной линии РООгО^М2. При неограниченном увеличении числа точек деления С0, Clt С2,... и, соответственно, точек О, QI, 02,... искомая зона лежала бы внутри огибающей проведенных прямых. Для построения зоны, в которой можно расположить ось вращения кулачка при опускании коромысла, следует повторить те же построения для точек М}, где отрезки

неограниченно возрастал при неограниченном увеличении Дф. Каково бы ни было ф„, в (4.13) символ dгp/dф отображает передаточную функцию механизма, когда функция гр (ф) дифференцируема.

Если учесть нелинейный характер кривой намагничивания (без учета гистерезиса), то это должно привести к двум эффектам: 1) ограничению роста поля дефекта при неограниченном увеличении первичного поля Я0; 2) возникновению объемных магнитных зарядов и их добавочных полей.

Отсюда, в частности, при неограниченном увеличении т2,- получаем формулу (4.81), а при неограниченном увеличении т:1 - формулу (4.100) приЛГ= 1 и FBi (t) = l~ exp (-Щ). В (4.100) надо, кроме того, удалить смещение аргумента, заменив t-i{ на t. Такая замена вызвана

свойств проблемы автономности и другие проблемы теории многосвязного-регулирования, являющейся теоретической основой комплексной автоматизации производственных и технологических процессов. Удалось доказать, что автономность — структурное свойство одного класса систем и достигается в классе структур, устойчивых при неограниченном увеличении коэффициента усиления. Кроме того, удалось установить зависимость характера связи между регулируемыми величинами и общей структурой системы и связь структуры с матрицей коэффициентов ошибки.

Отметим, что при неограниченном увеличении жесткости С2з (С2з —* °°) система на рис. 73, б в пределе превращается в систему на рис. 73, а. В этом случае условия (43.29) при соответствующей замене индексов преобразуются в условия (43.26).