Называются нормальными

Теорема умножения. При рассмотрении нескольких случайных событий они называются независимыми, если вероятность любого из этих событий не зависит от наступления или ненаступления других рассматриваемых событий.

Величины, значения которых не зависят от того, какие значения получили некоторые другие величины, называются независимыми от них. Допущение взаимной независимости величин

Теорема умножения. При рассмотрении нескольких случайных событий они называются независимыми, если вероятность любого из этих событий не зависит от наступления или ненаступления других рассматриваемых событий.

4. Произведением (совмещением) двух событий А и В называется событие С (С=А-В), заключающееся в совместном появлении событий А и В. События А к В называются независимыми, если появление одного из них не меняет вероятности появления другого; тогда вероятность произведения двух независимых событий А и В равна произведению вероятностей этих событий:

Случайные величины (X, Y) называются независимыми, если условный закон распределения одной из них не зависит от того, какое значение примет другая: fi(x\y)=fii(x) или fz(y\x) =fz(y) •

Основная задача корреляционного анализа — выявление значимости связи между значениями различных случайных величин. Величины, значения которых не зависят от того, какие значения получили некоторые другие величины, называются независимыми от них.

верхней части таблицы, называются независимыми — они соответствуют системе координат, в которой представлена исходная зада-

числа т44-1; [.. ..., тщ 1 обозначают размерности вторичных величин Ь^^.....Ьп относительно первичных величин о( (I = 1, 2,..., и). Размерности & величин (а,, а2> • • •. а&) называются независимыми, если размерность

*) События А я В называются независимыми, если вероятность реализации В не зависит от того, произошло ли А или нет.

Независимость случайных величин. Случайные величины Xf, ..., Хп называются независимыми, если

колебаний, частоты которых называются нормальными частотами связанной системы. Число нормальных частот равно числу степеней свободы. В данном случае имеем четыре нормальные частоты. Рассмотрим, чем они определяются и как могут быть найдены.

Прежде всего опишем колебания маятников в вертикальной плоскости, перпендикулярной линии, соединяющей их точки подвеса. Каждый из маятников в этой плоскости может занимать некоторое положение. Состояние системы характеризуется положением обоих маятников. Рассмотрим простейшие состояния системы: 1) оба маятника отклонены от положения равновесия в одну и ту же сторону на один и тот же угол, 2) маятники отклонены в разные стороны на один и тот же угол. Эти простейшие отклонения называются нормальными. Любое возможное отклонение маятников может быть представлено в виде суммы их одинаковых отклонений в одну сторону и разные стороны, или, иначе, любое состояние системы в указанном выше смысле является суперпозицией состояний (1) и(2). Доказательство этого утверждения легко выполнить с помощью графика на рис. 159. Пунктиром указана средняя линия равновесия. Величины а и b означают отклонения маятников от положения равновесия (Ь>а). После знака равенства изображены те комбинации отклонений / и 2, которые в сумме дают исходные отклонения маятников.

К этому специальному случаю мы пришли, так выбрав координаты исходной системы, что колебания парциальных систем (определяемых поочередным приравниванием нулю этих координат) оказались тождественными нормальным колебаниям системы. Так выбранные координаты называются нормальными, координатами. Введя эти нормальные координаты, мы определяем парциальные системы и находим парциальные, а значит, и нормальные частоты (поскольку те и другие совпадают между собой). Применяя нормальные координаты, мы4 как будто избавляемся от необ-' ходимости рассматривать колебания в двух связанных системах с одной степенью свободы каждая, так как парциальные системы — это системы с одной степенью свободы каждая, не связанные между собой. Однако в действительности это не так.

к площадкам, называются нормальными напряжениями: ах, ау, аг, а составляющие, лежащие в плоскостях граней, — касательными напряжениями: гху, %хг, tyx, т,,,, тгА-, тгу — (рис. 2.125). Эти состав-

2Lhb — nb (R2 — г2). Пружины, удовлетворяющие этому условию, называются нормальными заводными пружинами. Из этого условия определяются:

которому устанавливается стандартная величина модуля, измеряется в нормальной плоскости к боковой поверхности зуба. Такие шаг и модуль называются нормальными и обозначаются через tn и т„. Шаг, измеряемый в торцовой плоскости, называется торцовым, или окружным', обозначается он через ts. Соответствующий ему торцовый модуль обозначается через ms. Наконец, измеряя шаг в направлении образующей цилиндра, получаем осевой шаг ta, определяющий осевой модуль та. Все указанные шаги равны соответствующим им модулям, умноженным на число п.

Таким образом, система (8.24) после перехода к новым обобщенным координатам (8.25) распалась на два независимых уравнения (8.26) и (8.27), каждое из которых описывает движение с одной свободной координатой (и, или v2 соответственно). Преобразование координат, подобное выполненному выше, возможно при любом числе степеней свободы (если только трение отсутствует). Такие обобщенные координаты называются нормальными, а соответствующие им формы колебаний — нормальными формами. Особенность этих форм состоит в том, что колебания по каждой нормальной форме совершаются совершенно независимо от колебаний других форм.

Кривые, для которых По или п являются касательными векторами, называются нормальными линиями. В отличие от волокон нормальные линии не являются, вообще говоря, материальными кривыми. Множество частиц, до деформации лежащих на нормальной линии, обычно не образует нормальной линии после деформации. Заметим, что угол 0 равен также углу между нормальной линией и фиксированным направлением j, и такая геометрическая интерпретация параметра 8 часто оказывается более наглядной и удобной.

Координаты 7/, в которых кинетическая энергия системы выражается в виде суммы квадратов обобщенных скоростей, а потенциальная энергия — в виде канонической квадратичной формы обобщенных координат, Называются нормальными координатами. Матрица v преобразования (5.29) является частным случаем модальной матрицы М-, а нормальные координаты — частным видом главных координат.

Выбранные указанным способом координаты т)г называются нормальными или главными. В соответствии с (3.28) свободные колебания, отвечающие одной нормальной координате i\r, яв-

уравнения такого вида называются нормальными уравнениями. Система нормальных уравнений для линейной регрессии имеет вид