Нелинейного уравнения

Эти свойства гармонического осциллятора мы и рассмотрим в данной главе. Мы познакомимся как со свободным, так и с вынужденным движением, а также учтем влияние трения и небольшой ангармоничности или нелинейного взаимодействия, которые могут иметь место в системе. Кроме того, мы постараемся разобраться в том, что происходит, когда система уже не может считаться линейной,

ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ НЕЛИНЕЙНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ Ц ПРОЦЕССОВ САМООРГАНИЗАЦИИ В РЕАКЦИОННЫХ, ТВЕРДОФАЗНЫХ И ТОПОХИМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ .......................... 5

науки и техники, охватывающая изучение и разработку методов и средств генераций, усиления и преобразования частоты электромагн. колебаний радио- и оптич. диапазонов на основе использования явления индуцированного излучения или нелинейного взаимодействия излучения с в-вом. К приборам и устройствам К.э. относятся молекулярные генераторы, квантовые усилители, лазеры, квантовые стандарты частоты, лазерные гироскопы, квантовые магнитометры и др.

Для математического описания процесса поглощения нелинейных волн часто используют квазилинейный метод описания: рассматривается отдельно искажение и ослабление каждой гармоники в отдельности. Обозначим через Ёп среднюю по времени плотность энергии в n-й гармонике. Изменение этой энергии в волне определяется, с одной стороны, потерями вследствие вязкости и теплообмена, с другой стороны, энергия изменяется вследствие нелинейного взаимодействия с другими гармоническими составляющими. Инте-

кольких типов, работающие от сети сжатого воздуха [387, 388]. Из трех рассмотренных авторами конструктивных схем лучшим оказался параметрический излучатель, основанный на нелинейном взаимодействии УЗ-колебаний с воздухом. В результате нелинейного взаимодействия двух интенсивных акустических полей с частотами /и/г возникают комбинационные частоты mf\ ± nf2, где т и п - целые числа.

Параметрический излучатель (рис. 4.2) содержит задающий (левая часть) и модулирующий (правая часть) генераторы. Подбором расстояний между резонаторами 2, 4 и соплами 1, 3 добиваются необходимых частот излучения. Направляющая система в виде эллиптических рефлекторов 5, б формирует область нелинейного взаимодействия и направленность излучения. При частотах задающего и модулирующего генераторов /i = 15 кГц hjS = 18,75 кГц (Af= 3,75 кГц) полоса излучаемых частот составляет 14Л/" = = 52,5 кГц.

Следует упомянуть также работы Б.А. Конюхова, Н.Е. Никитиной и др. (Нижегородский филиал Института машиноведения РАН), посвященные использованию нелинейного взаимодействия упругих волн для контроля напряжений в условиях структурной неоднородности материала [84, 101, 107]. Необходимо отметить, что этой группой разработаны несколько вариантов методики диагностирования деталей машин и определения дисперсии внутренних напряжений акустическим методом.

Кепстр используют для формирования диагностических признаков только в тех случаях, когда колебательный процесс имеет периодически модулированный спектр, что может наблюдаться при явлениях нелинейного взаимодействия узлов и деталей механизма, при наличии амплитудной или частотной модуляции, а также при преобразованиях типа свертки нескольких временных процессов. В качестве диагностических признаков используют амплитуды кепстральных компонент.

4 = 1 — (UQ/P возникает синхронный режим, когда система совершает колебания с одной частотой - частотой внешнего воздействия р. Вследствие нелинейного взаимодействия в такой системе могут возникать как биения, т.е. колебания

6. Акустическая эмиссия радиационного взаимодействия - акустическая эмиссия, возникающая в результате нелинейного взаимодействия излучения с веществами и материалами.

ется в одной составляющей при кепстральном методе анализа сигнала. Кепстральный метод используют для формирования диагностических признаков только в тех случаях, когда колебательный процесс имеет периодически модулированный спектр. Это наблюдается при явлениях нелинейного взаимодействия узлов и деталей механизмов, при наличии амплитудной и частотной модуляции, при преобразованиях типа свертки нескольких временных процессов, а также при изменении физических параметров механизма, износе, изменении жесткости, ударных взаимодействиях. Наибольшее распространение кепстральный метод получил при диагностике зубчатых колес редукторных механизмов, имеющих разный износ поверхностей.

Численное решение полученного нелинейного уравнения для параметров среды в канале показывает, что при ДС НПЭ имеет место устойчивый предельный цикл. Частота движения дуги в начале сварки ровна (500—900) Гц, что соответствует экспериментально полученному значению при скоростной съемке процесса ДС НПЭ.

общего нелинейного уравнения равновесия (5.154), которое при Л22=^зз и

Приближенное решение нелинейного уравнения теплопроводности

Метод гармонического баланса. Линеаризация отдельных членов нелинейного уравнения движения механизма позволяет привести его к линейному виду, но получаемые при этом приближенные решения оказываются близкими к точным только в тех пределах изменения обобщенных координат и скоростей, которые были приняты при линеаризации. Обычно эти пределы соответствуют малым колебаниям около положения равновесия, и потому методы линеаризации, рассмотренные в предыдущем параграфе, как правило, не пригодны для исследования периодических движений с достаточно широкими пределами изменения обобщенных координат и скоростей. В этих случаях удобнее методы, основанные на приближенной замене нелинейного уравнения, движения механизма линейным уравнением определенного типа, решение крторого предположительно является близким к искомому решению.

Метод Галеркина. Приближенное решение нелинейного уравнения, получаемое по методу гармонического баланса, будет близко к точному только при условии, что форма предполагаемого решения выбрана удачно, т. е. движение близко к гармоническому. Большие возможности для выбора формы предполагаемого решения уравнения (10.4) предоставляет метод Галеркина, согласно которому искомое приближенное решение можно выбирать из семейства функций, зависящих от I независимых параметров:

Квазилинейные уравнения движения механизмов. Метод малого параметра или метод Пуанкаре применяется для исследования тех уравнений движения механизма, которые содержат малый параметр я и имеют периодическое решение, когда этот параметр равен нулю. Из этих уравнений наибольшее значение имеют квазилинейные уравнения, в которых нелинейные члены входят умноженными на малый параметр \л. Происхождение термина связано с тем, что при ц — 0 уравнение движения обращается в линейное, решение которого при соблюдении определенных условий близко к решению нелинейного уравнения и может быть уточнено путем введения малых поправок. Линейное уравнение, получаемое при ц, = 0, называется порождающим.

В данном случае пренебрегаем обратно направленным процессом, скорость которого пропорциональна экспоненте с противоположным знаком показателя. Решение нелинейного уравнения (270) при граничных условиях

В данном случае пренебрегаем обратно направленным процессом, скорость которого пропорциональна экспоненте с противоположным знаком показателя. Решение нелинейного уравнения (283) при граничных условиях

Пригодность найденного нелинейного уравнения для целей прогнозирования оценивается по доле объясненной вариации R2, %, определяемой как

Рассматриваемая программа построения нелинейной трендовой кривой является универсальной: используя ее, можно определить параметры практически любого нелинейного уравнения, так как в ней предусмотрен сменный блок, задающий уравнение искомой кривой. Результаты счета по программе выдаются в виде графической и табличной информации.

Для отыскания и того и другого вместо нелинейного уравнения достаточно иметь линейное (линеаризованное), полученное путем упрощения нелинейного в связи с малостью перемещений (малостью возмущений исходной (первоначальной) формы равновесия). Действительно, если вместо всей закритической ветви, возникшей в точке бифуркации (рис. 18.18, а), рассмотреть лишь участок, соответствующий малым значениям / (в нашем случае ф) (рис. 18.18, б), то вследствие малости / нелинейное уравнение можно заменить соответствующим линейным1). Так, например, нелинейное уравнение (18.4):