Нелинейное поведение

Уравнение (2.4.95) — нелинейное дифференциальное, в квадратурах не интегрируется. При С3 = 0 (вязкость среды не учитывается) имеет место уравнение (2.4.79), однако считать С0 = 0, как это делалось ранее, нельзя, так как в его выражение входят характеристики физико-механических свойств среды.

Если продолжить решение задачи о движении рассматриваемого механизма, то можно убедиться, что мы получим нелинейное дифференциальное уравнение, которое возможно решить только приближенным численным или графическим методом. На рассмотрении этого вопроса мы останавливаться не будем.

Таким образом, система прямого регулирования гидротурбины малой мощности описывается уравнением (12.35) и первым из уравнений (12.36). В данном случае после подстановки значений величин г, z и 2 в уравнение (12.35) получится нелинейное дифференциальное уравнение, исследование которого затруднительно. Однако нам достаточно установить, является ли переходный процесс при полном сбросе нагрузки сходящимся или расходящимися. Это можно исследовать по малым параметрам г и , из которых г, как мы уже видели, представляет собой малое отклонение муфты от устойчивого перед переходным процессом положения, а — малое изменение предварительной устойчивой величины ф0 параметра ф.

При полностью открытом проходном сечении тормозного устройства (В = 0) и силе сопротивления, зависящей только от скорости (в любой степени), уравнение движения (13.18) есть нелинейное дифференциальное уравнение первого порядка относительно скорости поршня и с разделяющимися переменными. После разделения переменных получим

Рассмотрим, что происходит со стержнем после того, как он потерял устойчивость прямолинейной формы, когда сила, сжимающая стержень, становится большей, нежели эйлерова. Для этого необходимо использовать нелинейное дифференциальное уравнение равновесия

Нелинейное дифференциальное уравнение (4) приближенно можно решить на ЭВМ, зная функцию i = i (t), которая определялась экспериментально.

Нелинейное дифференциальное уравнение движения (41.12) можно решить, воспользовавшись методом кусочно-постоянной аппроксимации силового передаточного отношения (см. п. 25).

Воспользовавшись допущением (19.18) и учитывая выражение (19.22), нелинейное дифференциальное уравнение движения

Это означает, что момент инерции 6(ф) должен изменяться заданным образом [220]. Нелинейное дифференциальное уравнение (Ь) является уравнением так называемого автономного типа [55]. Для его анализа применяются топологические методы [148] изображения движения в фазовой плоскости (со, ф). л

Это есть искомое нелинейное дифференциальное уравнение проточной камеры, учитывающее площадь ее поперечного сечения.

Машинные уравнения и структурные схемы. Нелинейное дифференциальное уравнение (1) может быть решено на любой из существующих аналоговых вычислительных машин постоянного или переменного тока. Но так как наибольшее распространение получили АВМ постоянного тока и, в частности, малые вычислительные машины, моделирование осуществлялось на машине МН-7. Ниже будут приведены общая структурная схема набора задачи с учетом различных видов задания силы трения, а также машинные уравнения. Здесь же остановимся на вопросе, имеющем вспо-

При охлаждении раствора и достижении критических условий спонтанно возникают устойчивые зародыши твердой фазы в жидкой среде. Этот процесс носит все черты локального неравновесного фазового перехода: нелинейное поведение системы, спонтанный переход из одного устойчивого состояния в другое, самоорганизация диссинативных структур, необходимая для этого перехода. Что же касается стадии роста устойчивого зародыша твердой фазы, то она полностью контролируется термодинамической самоорганизацией, при которой эволюция системы определяется стремлением системы к минимуму свободной энергии. Нелинейные условия в системе возникают в данном случае при наличие градиента температур, возникающего при переохлаждении. Способность чистых металлов к переохлаждению оценивают величиной -0,18 Тпл (Тпл - абсолютная температура плавления, причем она коррелирует с положением элемента в периодической системе). Поскольку переохлаждение расплавленных металлов при обычных условиях кристаллизации максимально на стенках литейной формы, то именно в этих областях преимущественно спонтанно возникают устойчивые зародыши кристаллизации. Наличие примесей в расплаве влияет на степень переохлаждения, оказывая кагалитическое воздействие на процесс кристаллизации [30]. Можно считать поэтому, что фуллерены в расплаве играют роль катализаторов, повышающих скорость химической реакции, подобно другим дисперсным примесям. Это означает, что кинетика образования устойчивых зародышей кристаллизации в железо-углеродистых сплавах может быть полностью задана небольшим количеством фуллеренов.

Нелинейное поведение материала учитывается за счет второй упруго-пластической изотропной составляющей модели. Для ее описания взяты соотношения изотропной теории упруго-пластичности с условием текучести Ми-зеса и изотропным упрочнением [21].

При циклическом нагружении нелинейное поведение предварительно деформированного материала проявляется в первую очередь через-образование закрытой петли (см. рис. 2.41, кривая 4). Напряжение, при котором впервые наблюдается закрытая петля, называется пределом упругости ОБ.

VI. Нелинейное поведение..................183

VI. Нелинейное поведение

Нелинейное поведение волокнистых пластиков и гранулированных эластомеров, вызванное микроструктурными повреждениями, качественно похожи (см. Халпин [39]). Интересно, например, заметить, что в композитах обоих видов обнаруживается значительно большее затухание, чем предсказывает линейная теория, при относительно низких вибрационных напряжениях (ср., например, Нильсен и Ли [74], Шепери и Канти [96], Шульц и Цай [101]). У волокнистых пластиков многие повреждения проявляются в виде четко выраженных трещин. Тем не менее количественных соотношений, выражающих зависимость между микроструктурным строением и поведением материала с течением времени, для волокнистых пластиков имеется гораздо меньше, чем для гранулированных композитов.

Теория Ферриса для гранулированных композитов была использована при решении плоских задач методом конечных элементов [28]. Однако теории, описывающей нелинейное поведение вязкоупругих волокнистых композитов, по-видимому, не

Нелинейное поведение материала в направлении, перпендикулярном волокнам, не рассматриваемое в работе [15], в [9] учтено ограниченным образом. В работах [9, 15], кроме того, пренебрегается нелинейной связью между нормальными напряжениями поперек волокон и касательными напряжениями, тогда как микромеханический анализ [20] указывает на возможность такого явления. Функциональная зависимость для описания этой связи предложена в [19], однако результаты испытаний под углом к направлению главных осей [15, 17], по-видимому, не указывают с достаточной очевидностью на ее существование. Действительно, определение зависимости сдвиговые напряжения — деформации из результатов одноосного нагружения слоистого композита со схемой армирования [±45°] возможно только в том случае, если связь между касательными и нормальными напряжениями отсутствует [21].

В предыдущем разделе внимание было сконцентрировано на природе и величине термических усадочных напряжений. Данный раздел посвящен возможному влиянию этих напряжений на нелинейное поведение слоистых композитов. В [15] показано, что усадочные напряжения могут влиять на начальные характеристики бороалюминиевых композитов. В данном разделе показано, что даже для композитов с пластичной матрицей наличие усадочных напряжений может оказать значительное влияние на предел текучести композита и уровни деформаций, развивающихся под действием приложенных нагрузок, после достижения этого предела. Расчеты усадочных напряжений выполнены при помощи методов, рассмотренных ранее для режима с умеренной скоростью охлаждения от температуры 177 °С. Зависимости а(е) для исследуемых схем армирования композитов получены при помощи метода конечных элементов таким же образом, как и при анализе усадочных напряжений. Подробное описание процедуры можно найти в работах [24, 25]; здесь же рассмотрим только ее основные этапы.

Нелинейное поведение материала учитывается за счет второй упруго-пластической изотропной составляющей модели. Для ее описания взяты соотношения изотропной теории упруго-пластичности с условием текучести Ми-зеса и изотропным упрочнением [21].

Усложнение геометрии исследуемых элементов конструкций по мере снижения их материалоемкости, нелинейное поведение материалов в зонах конструктивной неоднородности, в вершинах исходных технологических дефектов (трещин, пор, включений, подрезов и т. д.), особенно при длительных статических и циклических нагрузках в условиях повышенных температур, ведут наряду с применением традиционных в практике проектирования аналитических методов к существенному развитию и совершенствованию численных методов и самих критериев прочности и разрушения, ориентированных на использование ЭВМ [1]. При этом вместе с нормативными подходами для оценки малоцикловой прочности и долговечности по условным упругим напряжениям (равным произведению местных упругих или упругопластических деформаций на модуль упругости при соответствующей температуре [2]) разрабатываются уточненные методы расчетов, основанные на деформационных критериях разрушения поцикловой кинетики местных упругопластических деформаций и учитывающие тем-пературно-временные эффекты, частоту нагружения, форму циклов [3—7].