Нелинейной постановке

Далее следует движение механизма в тяговом режиме до момента времени t = tz, для которого ak+l (t2) — 0, после чего происходит движение масс / и 2 при заклиненной самотормозящейся паре. Цикл движения повторяется, причем режимы заклинивания чередуются с тяговыми режимами движения механизма. Если первая масса связана с двигателем, обладающим устойчивой динамической характеристикой, а внешний момент Mz постоянен, то в приводе устанавливается при определенных условиях периодический режим. Поскольку здесь осуществляется взаимодействие нелинейной колебательной системы с непериодическим источником энергии, то такой периодический режим может рассматриваться как автоколебательный.

Рис. 10. Пространственная картина взаимодействия нелинейной колебательной системы с роторным пульсатором:

•— Пространственная картина взаимодействия с нелинейной колебательной системой 189

На основании такого анализа можно утверждать, что расположение устойчивых и неустойчивых точек на резонансной кривой нелинейной колебательной системы существенно зависит от свойств источника энергии. Из этих свойств важную роль в условиях

Итак, в первом приближении колебания иссл 'дуемой нелинейной колебательной системы и некоторой линейной колебательной системы, обладающей коэффициентом затухания Ке (а) и коэффициентом упругости ke (а), эквивалентны (с точностью до величин порядка малости е2).

Рассмотрим, например, движение нелинейной колебательной системы с одной степенью свободы, описываемое дифференциальным уравнением

Примером нелинейной колебательной системы с ограниченным возбуждением является система, представленная на рисунке п. 2 таблицы, но с нелинейным упругим элементом Упругий элемент характеризуется следующей зависимостью восстанавливающей силы Р от перемещения:

7, как показано стрелками, а кривая 5Ь 2 — некоторому промежуточному значению Q = Й2- Другой бифуркационный переход происходит по линии 5lt со из точки 5 в точку 1. Из анализа соотношений (22) следует, что колебания, соответствующие точкам 2 и 6, являются устойчивыми, а колебания, соответствующие точке 4, — неустойчивыми, однако в зависимости от мощности амплитудного источника картина может изменяться. При этом меняется также форма амплитудно-частотной кривой а (Ф, Q). В случае достаточной мощности амплитудного источника получается кривая, сходная с амплитудно-частотной кривой линейной системы (штриховая линия на рисунке п. 6 таблицы). При малой мощности наблюдается новая зависимость амплитуды колебаний от частоты (сплошная линия на рисунке п. 6 таблицы). При прямом проходе через резонанс реализуются участки MA, BC, DN этой кривой, а при обратном — участки ND, FG, AM . Участки кривой АО и СЕ соответствуют точкам типа 4 и являются неустойчивыми. Такая зависимость амплитуды от частоты схожа с амплитудно-частотной кривой для нелинейной колебательной системы с двумя степенями свободы, включающей упругие элементы как с жесткой, так и с мягкой характеристиками.

Систематическое изложение результатов этого цикла исследований н обзор работ, выполненных до 1964 г., содержатся в книге В. О. Кононенко [21]. При продолжении исследований К. В. Фроловым н М. Ф. Диментбергом был изучен эффект Зоммерфельда в системе со случайно изменяющимися параметрами [15] (1966). Показано, в частности, что при случайном изменении собственной частоты возможен проход через резонанс без подвода энергии к основному двигателю, а амплитуды колебаний в этом случае могут быть больше, чем в детерминированной системе. Экспериментальные исследования подтвердили теоретические результаты, а также позволили сделать вывод, что случайные изменения параметров ведут к срыву резонансных колебаний. Анализу переходных процессов в случае нелинейной колебательной системы посвящена работа Л. Пуста [27, 46].

Рассмотрим постановку стохастической задачи устойчивости применительно к нелинейной колебательной системе второго порядка:

Рис. 10. Пространственная картина взаимодействия нелинейной колебательной системы с роторным пульсатором:

— Пространственная картина взаимодействия с нелинейной колебательной системой 189

Во второй части учебника изложены основные положения динамики стержней, дан вывод уравнений движения стержней в линейной и нелинейной постановке; приведены уравнения малых колебаний пространственно-криволинейных стержней с изложением численных методов определения частот и форм колебаний. Большое внимание уделено неконсервативным задачам с изложением методов исследования динамической устойчивости малых колебаний. Рассмотрены параметрические и случайные колебания стержней. Приведены примеры численного решения прикладных задач с использованием ЭВМ.

4.2.1. Общие положения. Высокий уровень напряжений в стальных конструкциях требует выполнения расчета на устойчивость рамы в физически нелинейной постановке. Решение такой задачи возможно численными методами, если известны размеры поперечных сечений и задана опасная комбинация нагрузок. Понятно, что перебор сочетаний нагрузок при наличии в программе машинного расчета вложенных итерационных циклов приведет к затратам огромных вычислительных ресурсов, поэтому в проектной практике используется инженерный метод расчета, основанный на применении аппарата расчетных длин.

Расчет процесса монтажа является обязательным для висячих большепролетных конструкций и по сложности и ответственности зачастую не уступает основному расчету на эксплуатационные нагрузки. Сложность расчета определяется необходимостью учета изменения конструктивной и расчетной схем на каждом этапе монтажа, а также необходимостью учета усилий и деформаций, накапливающихся в сооружении от этапа к этапу его возведения. Расчеты необходимо проводить в геометрически нелинейной постановке. Вопрос о возможности применения принципов суперпозиции при поэтапных расчетах необходимо решать в каждом конкретном случае в зависимости от степени деформативности системы на каждом этапе воздействия.

Необходимость решения задач в нелинейной постановке возникает наиболее часто при моделировании процессов, в которых температура изменяется в широком диапазоне. Например, теплопроводность сталей, применяемых в конструкциях криогенных систем, изменяется от 1 до 15 Вт/(м- К) в интервале температур Т = 5-^ -т- 300 К. Коэффициенты теплоотдачи излучением осл могут изменяться более чем в 10 раз при изменении температуры поверхности от 20° до 700 °С. ,

В последние годы в связи с развитием вычислительной техники и численных методов расчета течения вязкой жидкости [12] появилась возможность решения задач течения закрученного потока в нелинейной постановке. Это позволяет более точно выявить влияние закрутки потока на его структуру.

Анализируя в геометрически нелинейной постановке (при больших прогибах) кручение однородной изотропной пластины, Фойе [69] показал, что бифуркация, соответствующая потере устойчивости, происходит, когда прогибы углов пластины превы-

Рис. 6.13. К определению линейной относительной деформации вдоль направления г в окрестности точки А в геометрически нелинейной постановке.

конструкции от мгновенно изменяемой. Для такого установления необходимо перейти к геометрически нелинейной постановке задачи. X

в) определяются амплитуды установившихся параметрических колебаний в зоне параметрического резонанса (в нелинейной постановке).

нелинейной постановке зада- ЕСЛИ ИСПОЛЬЗубТСЯ НеЛИНбЙНОе ПрИ-

Аналогично, решая задачи устойчивости энергетическим методом и ограничиваясь в выражении для изменения потенциальной энергии квадратичными по отношению к величинам поперечных перемещений слагаемыми, находили только критические нагрузки и соответствующие им собственные функции. Характер критической точки бифуркации и поведение стержня при конечных прогибах после потери устойчивости оставались неизвестными. Для того чтобы определить их, необходимо рассмотреть задачу устойчивости стержня в нелинейной постановке.