Нелинейной характеристики

22.8. Движение механизма при нелинейной характеристике двигателя

22.8. Движение механизма при нелинейной характеристике двигателя 290

Геометрическое условие (10.1) означает, что на нелинейной характеристике в окрестности точки х = XQ кривая F(x) заменяется отрезком карательной в этой точке.

Далее изучались свойства системы при нелинейной характеристике восстанавливающей силы у =^= 0. На рис. 3, а показана зависимость x=f (v) при u = l,14 и у =—0,1. Различная степень почернения рисунка связана со скоростью изменения частоты v, что, в свою очередь, определяется минимальным использованием

Ограничиваясь первыми двумя членами ряда, получаем, что коэффициент жесткости равен с = F' (хй). Это означает, что на нелинейной характеристике (рис. 10, а) в окрестности точки М мы заменяем кривую отрезком касательной в этой точке. Для того, чтобы такая замена была правомерна, необходимо, чтобы

Линеаризацию нелинейных граничных условий (I. 5) или определение приведенной линейной жесткости опор можно выполнить любым из известных методов осреднения за период колебаний, применяемых в нелинейной механике. При любой нелинейной характеристике восстанавливающей силы / (у) имеется возможность для каждой амплитуды колебаний конца балки найти величину соответствующей приведенной линейной жесткости. Это возможно потому, что в данном случае можно найти связь между частотой свободных колебаний и ее. амплитудой. Для получения приведенной линейной жесткости в опорах используем уравнение движения конца балки в предположении, что его масса равна единице и он отсоединен от остальной части балки. Пусть f (у) есть упругая характеристика опоры балки. Тогда уравнение движения конца балки будет иметь вид

Так определяются при любой нелинейной характеристике собственные частоты колебаний балки как функция амплитуды колебаний балки в точке нелинейной упругой опоры.

На основании проведенного исследования можно сказать, что частоты свободных нелинейных колебаний балок являются, в отличие от линейного случая, функциями амплитуд колебаний концов, имеющих нелинейные граничные условия. При этом они могут занимать своим сплошным спектром либо всю полосу частот от О до оо (при этом формы колебаний плавно переходят от одноузло-вых к двухузловым и т. д.), либо они могут занимать лишь сплошные полосы в соответствующих интервалах частот. Первый случай имеет место, например, при нелинейной характеристике, представляемой кубической параболой, второй случай — при линейных характеристиках, составленных из отрезков прямых.

При любой нелинейной характеристике опоры (при сохранении других упругих, уже линейных, констант) прогиб в точке нелинейной опоры будет выражаться через параметр Л 2

собственная частота колебаний цапфы ю (у) при жесткой нелинейной характеристике с ростом амплитуды колебаний будет расти и в какой-то момент это равенство будет иметь место и, следовательно, на соответствующих оборотах наступит указанное выше вредное явление.

Далее изучались свойства системы при нелинейной характеристике восстанавливающей силы у =^= 0. На рис. 3, а показана зависимость x=f (v) при u = l,14 и у =—0,1. Различная степень почернения рисунка связана со скоростью изменения частоты v, что, в свою очередь, определяется минимальным использованием

Необходимая жесткость при кручении достигается изменением количества пакетов, толщины пружин и подбором их материала. При исполнении / (рис. 20.12) паза хвостовика муфта имеет линейную характеристику изменения жесткости при кручении. Для получения нелинейной характеристики пазу придают криволинейный профиль (исполнение //).

Необходимую жесткость при кручении достигают изменением количества пакетов, толщины пружин и подбором их материала. При исполнении I (рис. 20.12) паза хвостовика муфта имеет линейную зависимость изменения жесткости при кручении. Для получения нелинейной характеристики пазу придают криволинейный профиль (исполнение II).

Кривые растяжения коротких болтов, на упругость которых влияет деформация головки и резьбовой части, а также болтов с упругими элементами нелинейной характеристики определяют экспериментально. Растягивающую силу прикладывают через упругие элементы. Экспериментальную кривую наносят на заготовку диаграммы (рис. 314, е) и через точку т встречи с линией Р аст проводят вертикал!, тп, а через точку «-линию fee сжатия под углом р к оси абсцисс. Ордината точки b представляет собой Рзат.

Фасонные пружины применяют главным образом при необходимости получения нелинейной характеристики, т. е. нелинейной зависимости между силой и упругим перемещением пружины. Нелинейная характеристика пружин (возрастание жесткости пружины с нагрузкой) уменьшает опасность резонансных колебаний. Пружины с нелинейной характеристикой можно спроектировать на большую энергию удара, чем пружины с линейной характеристикой тех же габаритных размеров и т. д.

Муфты с резиновыми сухарями (см. рис. 21.15,6) преимущественно применяют для относительно больших моментов. Например, известны муфты для передачи мощности 1300 кВт при 100 мин '. При необходимости явно выраженной нелинейной характеристики для передачи небольших моментов сухари можно заменить парами или цилиндрами.

Необходимая жесткость при кручении достигается изменением количества пакетов, толщины пружин и подбором их материала. При исполнении / (рис. 20.12) паза хвостовика муфта имеет линейную характеристику изменения жесткости при кручении. Для получения нелинейной характеристики пазу придают криволинейный профиль (исполнение //).

Метод точечных отображений до сих пор не удается сколь-либо эффективно применять к системам, порядок которых выше трех. Это привлекло внимание и силы к решению более частных задач; при этом центральной стала проблема определения периодических решений: автоколебаний — в автономных системах и вынужденных колебаний в полосе захватывания — в системах, подверженных внешним периодическим воздействиям. Был предложен частотный метод, позволяющий точно в форме полных (без пренебрежения гармониками) рядов Фурье определять периодические движения релейных систем и их устойчивость по отношению к малым возмущениям. Первоначально казалось, что метод этот принципиально пригоден лишь в тех случаях, когда нелинейная характеристика состоит из кусков горизонтальных прямых, и поэтому форма выходных колебаний нелинейного элемента может быть заранее предопределена с точностью до неизвестных времен движения по отдельным участкам нелинейной характеристики. Однако позже было показано, что это не так, и был разработан метод определения периодических решений в форме полных рядов Фурье, пригодный для системы, содержащей нелинейные элементы, характеристики которых состоят из кусков двух произвольных прямых. Это последнее ограничение через некоторое время было снято, и таким образом указанная серия работ была завершена разработкой общего метода точного (без пренебрежения гармониками) определения периодических движений в системах, содержащих нелинейный элемент с произвольной кусочно-линейной характеристикой.

ваются функциями времени задержки т. Возникает, таким образом, неопределенность введенного выше понятия степени нелинейности. Его уточнение в применении к акустическим сигналам можно получить несколькими способами. Так, если считать, что степень линейной связи определяется максимальным значением коэффициента корреляции Д^т) между входным и выходным сигналами, а полная связь между ними характеризуется максимальными значениями корреляционных отношений т]?2 (т) и Till (т)) то коэффициенты нелинейности можно определять с помощью формулы (2.49), но подставлять в них максимальные значения входящих в правые части величин. В работе [33] предложен другой способ оценки степени нелинейности: мера нелинейной связи между сигналами характеризуется минимальным значением корреляционного отношения T)2j(T). Для данного вида нелинейной характеристики системы эта мера оказывается прямо пропорциональной клирфактору К/.

Предлагаемый метод сводится к числовому расчету последовательных этапов, начиная с первого. Для системы с n-степенями свободы при любых функциях Мд(ф1, $1, t) и Мс (фп,фп, 0 и с учетом нелинейной характеристики трения в муфте практически возможно лишь численное интегрирование с применением быстродействующих электронных цифровых машин г.

Действие одиночного импульса на линейную консервативную систему с одной степенью свободы. Рассмотрим имеющие большое прикладное значение нелинейные системы с характеристиками жесткости, составленными из отрезков прямых. Если воспользоваться методом прямой линеаризации [15], состоящим в замене нелинейной характеристики жесткости Дф) линейной х функцией °сф (рис. 10, а), то для крутильной симметричной системы после замены нелинейного уравнения 6ф -f /(ф) = Mt уравнением 0ip + _}_0еф = Mt найдем:

Заметим, что развитая методика позволяет решать задачу о вынужденных колебаниях в случае любой нелинейной характеристики в опоре, так как все предыдущие выкладки можно воспроизвести для балки, имеющей три различные (любые) линейные граничные условия и одно (четвертое) любое нелинейное граничное условие.