Нелинейных стохастических

Находятся приращения компонент деформаций ползучести и связанных с ним нелинейных составляющих усилий и моментов (12). Найденное напряженно-деформированное состояние итерируется до тех пор, пока не будет выполнено условие (24). При этом учитывается и изменение пластических деформаций, вызванных изменением напряжений. Затем дается новое приращение по времени и процесс повторяется до тех пор, пока ^тек = ?эадан> где гтек = 3 А^т-

где коэффициенты матрицы [L] определяются с использованием выражений (4.45) без учета нелинейных составляющих, т. е.

Величины а ц (i = 1, 2, ..., 6; / = 1,2, ..., 83) являются коэффициентами при нелинейных составляющих упругих сил и выражаются через линейные комбинации коэффициентов жесткости упругих элементов /ел (s = 1, ..., q) в зависимости от схемы расположения упругих элементов в системе.

где коэффициенты матрицы [L] определяются с использованием выражений (4.45) без учета нелинейных составляющих, т. е.

Второе слагаемое в (1.133) также можно преобразовать к симметричному виду. Воспользовавшись для вариаций нелинейных составляющих деформаций (1.138) их представлением через перемещения (1.137), получим

Для нелинейных составляющих деформаций ограничимся квадратичным приближением

Для нелинейных составляющих деформаций TJ получим

При получении (2.135) в нелинейных составляющих были отброшены слагаемые, содержащие множители k\z, k-^z. На основе (2.135) можно получить линеаризованные соотношения

Вариации нелинейных составляющих будут

Для рассматриваемого случая при записи вариационной формулировки критерия устойчивости Брайана будет недостаточно удержания нелинейных составляющих деформации, связанных с углом поворота к>\. Особенность задачи заключается в том, что при смещении сечения как жесткого целого максимальные касательные перемещения и2 (при a2=±jt/2) равны максимальным нормальным перемещениям v3(w) (при аг=0, я), (рис. 3.7, а). Поэтому в нелинейных деформациях г\{ кроме е^2 необходимо учитывать также 8и2, поскольку они имеют одинаковый порядок малости (см. (2.132)).

13. Бочков Г. Н., Дубков А. А. К корреляционному анализу нелинейных стохастических функционалов. «Изв. высш. учебн. завед. Радиофизика», 1974, т. 17, № 3, с. 854—861.

Для анализа случайных колебаний нелинейных стохастических систем важную роль играет стационарная плотность распределения амплитуды, получающаяся из совместной плотности распределения амплитуды и фазы интегрированием по фазе б . Стационарным точкам этой плотности соответствуют устойчивые или неустойчивые амплитуды случайных колебаний в зависимости от достижения в этой точке соответственно

Во многих прикладных и теоретических исследованиях для решения нелинейных стохастических задач применяют приближенные методы. Поясним сказанное на простейшем примере. Пусть движение системы описывается дифференциальным уравнением:

Эффективным методом исследования нелинейных стохастических задач является метод статистических испытаний (метод Монте-Карло). Этот метод использует исходные уравнения (линейные или нелинейные), на вход которых подают случайные реализации возмущений, для каждой из которых получают решение исходного.уравнения. Эти решения статистически обрабатываются и получаются законы распределения величин или вероятностные характеристики. Для воспроизведения и ввода входных случайных возмущений используются реальные записи или датчики (генераторы) случайных чисел. Основным преимуществом метода статистических испытаний являются универсальность и простота. Метод может быть применен к любым нелинейным системам, причем принципиальная сложность метода не зависит от сложности исследуемой задачи. Метрд статистических испытаний изложен в п. 16.

В данной монографии систематически изложены прикладные методы нелинейной теории случайных колебаний, предложен вариационный подход к решению нелинейных стохастических задач, разработаны инженерные методики анализа поведения нелинейных систем при случайных воздействиях.

Для решения реальных технических задач изложенную методику нельзя считать перспективной. Помимо трудностей, связанных с вычислением даже моментов низкого порядка, расчет осложняется из-за отсутствия данных о характере распределений фазовых переменных, что не позволяет выяснить качественных особенностей поведения нелинейных стохастических систем.

Для решения нелинейных стохастических задач наибольшее распространение получили методы классической теории нелинейных колебаний в сочетании с осреднением по статистическому ансамблю. Этот принцип положен в основу методов статистической линеаризации, возмущений (малого параметра), медленно меняющихся амплитуд и др.

совпадает с результатом (1.95), который получен методом статистической линеаризации по принципу наименьшего квадрата разности линейной и нелинейной функций. Такое совпадение неслучайно. Как известно [9], гауссовская аппроксимация результатов нелинейного преобразования нормальной случайной величины обеспечивает наилучший линейный прогноз в смысле принципа наименьших квадратов. Таким образом, предположение о гауссовском характере неизвестных функций на выходе нелинейной системы автоматически приводит к линеаризации зависимостей между «входом» и «выходом». Следовательно, для выяснения качественных и количественных особенностей поведения нелинейных стохастических систем^ необходимо отказаться от гипотезы «гауссовости», сосредоточив внимание на выявлении -фактических распределений фазовых переменных при помощи эффективных приближенных методов.

Моментные соотношения для нелинейных стохастических систем

Для пояснения спектрального метода анализа нелинейных стохастических систем рассмотрим вновь простейшее уравнение движения:

Таким образом, спектральный метод анализа нелинейных стохастических систем существенно отличается от метода момент-ных соотношений, основанных на теории марковских процессов. Разрешающие уравнения спектрального метода (4.31), (4.41), (4.47) выведены для произвольного вида спектральной плотности воздействия. Это позволяет не вводить предположение о дробно-рациональном характере функции 59(ю). Далее, метод спектральных представлений наряду с моментами фазовых переменных позволяет исследовать двухточечные характеристики случайных процессов, т. е. спектральные плотности и корреляционные функции.