Нелинейные характеристики

5. Определение частотных характеристик лопаток турбин, имеющих бандажи с зазором, а также лопаток, устанавливаемых с «качкой» в замке. В последнем случае нелинейные граничные условия лопатки будут являться функцией чисел оборотов машины.

Следует заметить, что нарушение гипотезы о линейности граничных условий приводит к невозможности разложения решений по фундаментальным функциям и, следовательно, в данном случае исчезает возможность использования хорошо разработанных сейчас методов исследования колебаний линейных упругих систем с распределенными массами. Развитые ниже методы могут быть перенесены и на задачи о колебании пластин, мембран, струн, имеющих нелинейные граничные условия. Ч

. Некоторый интерес может представлять и задача о продольном, изгибе стержня, имеющего нелинейные граничные условия. Приводимые ниже исследования показывают, что хорошо известные ранее типично нелинейные свойства одномассовых систем (зависимость собственной частоты системы от амплитуды колебаний,, многозначность амплитуд вынужденных колебаний, наличие «скачков», «затягиваний» и пр.) расширяются и обобщаются соответствующим образом на системы с .распределенными массами. В работе будет показано, что задача о колебании балки и задача о критических режимах валов, имеющих нелинейные граничные условия, являются принципиально различными, тогда как известно, что в линейной постановке они совпадают.

Следует отметить, что учет нелинейности в граничных условиях упругих систем, совершающих нелинейные колебания, не является поиском эффектов, причин и явлений, играющих несущественную роль. Наоборот, было показано, что очень часто нелинейные граничные условия являются фактором, определяющим движение всей упругой системы.

КОЛЕБАНИЯ БАЛОК, ИМЕЮЩИХ НЕЛИНЕЙНЫЕ ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ

Если балка имеет нелинейные граничные условия, то, вообще говоря, нельзя следовать известному методу Фурье и полагать

При этом произвольные нелинейные граничные условия примут вид:

так и при колебаниях балки каждой амплитуде колебаний балки в точке, расположенной против нелинейной упругой опоры, можно поставить в соответствие некоторую приведенную уже линейную жесткость в опоре. Это можно сделать с помощью любого метода осреднения за полный период колебаний в опоре. Тогда можно будет приближенно.заменить нелинейные граничные условия (I. 5) новыми, уже линейными, граничными условиями:

Следует отметить, что система нелинейных граничных условий (I. 5) при предположении, что решение имеет вид (I. 3), не может прямо привести к желаемому результату, хотя таким методом и можно получить некоторое представление о характере движения балок, имеющих нелинейные граничные условия.

Случай несимметричной характеристики. Нелинейные граничные условия в опорах балки могут и не быть симметричными (фиг. 6). В том же случае, когда на балку действует постоянная сила, то последняя превращает симметричные граничные условия в несимметричные. Тогда при начальном отклонении аг в одну сторону максимальное отклонение в другую сторону будет а2; при этом а2 4= %• Зависимость между а2 и а± определяется с помощью уравнения потенциальных энергий, мых в заделках, в обоих крайних положениях

Это является первым обязательным этапом в исследовании динамических свойств балок, имеющих нелинейные граничные условия.

поршневых машин, как правило, применяют муфты, имеющие нелинейные характеристики. Эти муфты очень эффективны для машин с вентиляторной характеристикой, у которых момент сопротивления растет с квадратом скорости.

Виды нелинейностей в механизмах. Нелинейности в уравне" ниях движения механизмов возникают или из-за нелинейной зависимости инерционных коэффициентов от обобщенных координат, или из-за нелинейных характеристик сил, действующих на звенья механизма. На рис. 55 показаны типовые нелинейные характеристики упругих и диссипативных сил.

плоскостного и краевого направлений для пластмассы, армированной стекломатом, и для пластмассы, армированной стеклоровницей. Из приведенных данных можно^видеть, что рассматриваемые диаграммы носят нелинейный характер. Таким образом, изложенной здесь методикой можно успешно пользоваться для материалов, имеющих нелинейные характеристики.

При анализе и синтезе подобных систем возникает необходимость учета влияния внешнего воздействия, носящего характер стационарной случайной функции. В частном случае, когда последняя представляет собой, например, медленно изменяющуюся функцию, нелинейные характеристики могут быть сглажены при помощи автоколебаний, а затем подвергнуты обычной линеаризации [1]. Поэтому при исследовании подобных систем может быть использована линейная теория случайных функций. В более общем случае решение рассматриваемой задачи целесообразно провести, основываясь на статистической линеаризации существенных нелинейностей [2]. В работах [1, 2] предполагается, что параметры нелинейных звеньев системы автоматического регулирования являются детерминированными величинами.

Определение коэффициентов передач производилось на основе представления силовых и кинематических связей внутри типовых узлов привода и между ними с последующим использованием законов Даламбера и Кирхгофа. Построенный таким образом полный граф исходной системы показан на рис. 2. Коэффициенты передач графа учитывают упруго-массовые и кинематические параметры привода, внешние и внутренние возмущения, нелинейные характеристики демпферов и амортизаторов, параметры электродвигателей и системы управления. Один из вариантов преобразованного графа и соответствующая ему блок-схема электронной модели для привода с эквивалентной силовой ветвью показаны на рис. 3. С помощью этой модели решались частные задачи о выборе типа демпфера, определении его параметров и места установки.

Вторая глава посвящена разработке эффективных численно-аналитических методов динамического расчета приводов машин, имеющих различные нелинейные характеристики кусочно-линейного типа. Здесь получили дальнейшее развитие методы, предложенные в работе [29].

Механизмы современных приводов при динамическом исследовании схематизируются в виде цепных, чаще всего, линеаризованных систем с некоторым числом звеньев, имеющих существенно нелинейные характеристики, что позволяет исследовать динамические характеристики таких приводов. Диссипа-тивные свойства деформируемых звеньев представляются линеаризованными зависимостями, найденными на основе эквивалентной линеаризации действительного нелинейного закона рассеяния энергии [41; 69; 73]. Следуя указанной методики, диссипативные свойства звеньев самотормозящегося механизма будем учитывать линеаризованным коэффициентом сопротивления рА k+1, который изменяется синхронно с изменением режима, оставаясь постоянным в пределах данного режима

Примеры вычисления приведенных жесткостей. Для технических задач наиболее характерными будут следующие нелинейные характеристики.

5. Нелинейные характеристики, представляемые дробными степенями; они характерны для опор, в которых имеют место контактные напряжения. Например, в случае валов, имеющих в опорах шариковые и роликовые подшипники,

имеющих в опорах нелинейные характеристики,

Задача о движении ротора, имеющего нелинейные элементы в системе ротор — статор, и на диск которого действует сила веса или перегрузка, тесно переплетается с задачей о движении ротора, у которого в опорах имеются различные нелинейные характеристики упругости в горизонтальном и вертикальном направлениях. Для краткости такие опоры будем называть анизотропными. В этом случае задача уже не может быть решена с помощью уравнения, изображающего равновесие центробежных и упругих сил (см. гл. II)