Неизвестных температур

Подставив в (4.85) выражения (4.84) для ^30(82)', "10(82), «20(62), получим выражение для «2о(ез), зависящее только от с/ и Я ю. После исключения #30(82), "ю(ва), «20(^2) и «2о(ез) из уравнений (4.83) — (4.84) получим соотношения, содержащие семь неизвестных постоянных Cj (/=1, . . ., 6) и ^ю, для определения которых имеется семь условий: по три условия при е=0 и е=1 и одно условие «2o(ei)=0 при e=ei. Для стержня, показанного на рис. 4.11, из краевых условий при е=0 имеем С4=с5— св=0. Из условия u2o(ei)=0 при e=ei и AQi0=AQ2o=^^l3==0 при 6=1 получаем четыре уравнения:

каждом конце трубопровода). Требование выполнения краевых условий при е= 1 приводит к системе однородных уравнений относительно 12 неизвестных постоянных ср

где Тцы — обычный тензор преобразования четвертого ранга, компоненты которого определяются из формулы (6). Константы ап и аы для & = ' в уравнении (67) можно найти по формулам (666), измеряя пределы прочности в экспериментах с образцами, вырезанными из материала под разными углами 6 и 6'; следовательно, в уравнения (67) входит 30 неизвестных постоянных, соответствующих индексам k ф I. Из этих 30 постоянных из уравнений (67) можно определить лишь шесть, так как в системе (67) только шесть независимых уравнений. Выход из этого положения, предложенный Ашкенази, состоит в определении шести постоянных для k = I = 1, 2, 3 при дополнительном произвольном предположении о том, что остальные 24 постоянных равны нулю. Предполагая неявно матрицу аы симметричной и производя очевидные упрощения с использованием поворота на 45°, Ашкенази [2] дает следующую формулу для определения сиг, ai3, «23 по результатам экспериментальных измерений:

положении, т. е. в возмущенном состоянии, при малых возмущениях. Составляется дифференциальное уравнение равновесия исследуемой системы в указанном положении; этому уравнению соответствуют, в зависимости от характера закрепления, некоторые граничные условия, которые обязательно однородны (иначе это не задача устойчивости). После интегрирования дифференциального уравнения или их системы, граничные условия приобретают вид системы линейных однородных алгебраических уравнений относительно постоянных интегрирования, число которых равно числу неизвестных постоянных интегрирования. Условием нетривиальности решения является характеристическое уравнение (приравненный нулю определитель упомянутой системы линейных однородных алгебраических уравнений), из него ищется критическая сила или критический параметр как минимальный корень в соответствии с приведенным выше определением понятия критической силы.

Уравнения вновь получаются линейными и однородными отног сительно новых неизвестных постоянных величин. .Условием, ненулевого решения будет '

Принимая для --2 ctg i = 1 из табл. 12 коэффициенты UK и -;л (л — О, 1, 2, 3, 4) и приравнивая меридиональные напряжения на внутреннем и наружном контурах оболочки нулю, получаем систему уравнений для определения неизвестных постоянных C\_f,

Задача 2. Определение неизвестных постоянных модели. Очевидно, что для полного математического описания работы конкретного ротора нужно знать точные значения всех неизвестных постоянных системы уравнений (1). Оператор может решить эту задачу различными способами, однако, по-видимому, наиболее эффективным следует считать метод обучающейся модели [1 ].

При нахождении трех неизвестных постоянных С, а и & воспользуемся следующими соображениями: при переходе с луча Л1Ла на луч Л2Лз в пло^ скости 9В функция У получает приращение

Возвращаясь к решению нашей задачи и рассматривая выражения (18.1) — (18.5) как функциональную систему пяти уравнений, видим, что она не замкнута, так как содержит две неизвестные функции а(6) и V(6) и пять неизвестных постоянных (q, a.l, а2, V2 и V0). Из условий задачи не использованы функция а = а (s) с известным положением критических точек 5 = S] и s = s2, в которых она испытывает разрыв. Чтобы замкнуть написанную систему уравнений, присоединим к ней еще два уравнения, которые получаются, •если приравнять приращения потенциала скорости на профиле Ф (s) — Ф (Sj) соответствующему приращению потенциала скорости & круге Ф(6, />) —Ф(001, Р):

ная форма деформированного тела. В этом описании оставляют несколько неизвестных постоянных, которые потом находят с помощью метода Бубнова—Галеркина, метода Ритца или других (см. т. 2, гл. II).

которая приближенно характеризует взаимосвязь величин х и у и зависит от / неизвестных постоянных с}, называется функцией регрессии. При N > / ее находят „з условий наилучшего приближения

Подставив выражение (1.5) для U i и выражение для (У/х из (1.4) в уравнения (1.2), (1.3), получим систему (NT + Л^щ) уравнений относительно неизвестных температур Tt (i = 1, ..., yVT) и и*ык (1 = = 1, ..., N ж). Для полной постановки задачи задаются значения искомых температур в начальный момент времени

где Л — матрица размером N X N, N -••- N.t + 2 * W ж; X — столбец неизвестных температур, содержащий N членов; В — столбец ш /V свободных членов.

Примем следующий порядок нумерации /V неизвестных температур: первые /VT членов столбца X соответствуют температурам тел Г,, ..., Гд;т, далее парами следуют 2 * /V'Hi температур теплоносителей

Искомые значения температур в уравнениях разностной схемы связаны между собой «по горизонталям» так же, как и в одномерном случае. Кроме того, имеются связи и «по вертикалям». Причем неизвестные любой внутренней горизонтальной прямой «взаимодействуют» только с неизвестными двух соседних прямых — верхней и нижней. Этот факт определяет ленточный характер матрицы линейной системы уравнений относительно неизвестных температур, возникающей при неявной схеме. Остановимся на этом подробнее.

Проанализируем теперь с учетом (4.25) структуру системы (4.21). Видно, что производная д/<">/д«г- представляет собой сумму произведений неизвестных температур ut, Uj, uh на постоянные известные коэффициенты, зависящие от координат узлов и параметров задачи, а также постоянных известных членов, не зависящих от искомых температур. Левые части уравнений (4.21), получаемые путем суммирования частных производных, имеют такую же структуру, и, следовательно, приравнивая их нулю, мы получаем линейную систему разностных уравнений относительно неизвестных температур узловых точек.

Локальные матрица и вектор-столбец. Для формирования матрицы линейной системы разностных уравнений удобно записать полученные выше соотношения для частных производных функционала л-го элемента в матричном виде. Для получения матричной записи принято использовать так называемую локальную нумерацию узлов и соответствующих им неизвестных температур, действующую только в рамках каждого конкретного элемента разбиения.

Остановимся на этом подробнее. Возьмем n-й треугольный элемент разбиения, имеющий три узловые точки с «глобальными» номерами I, /, k, и будем условно считать в рамках n-го элемента 1-й узел — первым, /-и узел — вторым, а /г-й узел — третьим. Соответственно введем локальные номера 1,2,3 для неизвестных температур Ui, и,, uk в узлах этого элемента и будем использовать следующие обозначения:

неизвестных температур {um}m=i будет формироваться на основе матриц g(n), а вектор-столбец свободных членов — на основе векторов-столбцов
Если рассмотреть предельно крупное разбиение, при котором вся область состоит лишь из одного элемента (N == 1), то система уравнений для определения трех неизвестных температур его узлов будет иметь вид

Соответствие между глобальными и локальными обозначениями неизвестных температур имеет вид:

Основной частью программы является та, в которой производится формирование линейной системы. Формирование матрицы А и столбца свободных членов В производится на основе единой нумерации всех неизвестных температур. Нумерацию можно проводить различным образом. Например, сначала поставить температуры стенки /j, ..., tfj, а за ними расположить температуры жидкости ц,, ..., и\. При этом все неизвестные температуры сводятся в один вектор-столбец длиной IN — {H^m}m^=i- Однако такой способ нумерации применять нецелесообразно, поскольку он дает слишком широкую ленту матрицы и приводит к увеличению объема требуемой памяти и затрат машинного времени. В этом случае, например, в первое уравнение (5.40) для температуры стенки <, входит температура жидкости Ui, и поэтому уравнение линейной системы для неизвестного Wl—t^ будет содержать также неизвестное W,v+i = =; «,, т. е. ширина ленты матрицы при данной нумерации будет равна /V 4- 1.