Независимым переменным

Если же эти две материальные точки жестко связаны между собой некоторым стержнем неизменной длины /, то шесть координат двух точек уже не являются независимыми величинами, потому что между ними имеется соотношение /2 = (х2 — x\f + + G/2 — yi)2 + (z2 — zi)2, в котором (xi, уi, z\) и (х2, уг, 2г) — декартовы координаты точек. С помощью этого равенства одну из шести координат можно выразить через величину / и оставшиеся пять координат. Таким образом,

Инерциальные свойства твердого тела в общем случае характеризуются шестью независимыми величинами: тремя осевыми и тремя центробежными моментами инерции. Если оси системы координат направлены вдоль главных осей инерции тела, то центробежные моменты инерции отсутствуют, а осевые моменты называются главными моментами инерции.

Напомним, что газодинамические функции потока в данном сечении (например, А,Н2, ПН2 и q^), фигурирующие в расчетных уравнениях, не являются независимыми величинами, а связаны между собой соотношениями (6.4) — (6.8) (приложение 1).

Точность группы механизмов. В данном случае определяются не значения ошибок в конкретном экземпляре механизма, а прак" тические границы, в которых могут находиться погрешности любого из группы однотипных механизмов, изготовленных по одинаковым техническим условиям. Первичные ошибки в группе механизмов являются случайными независимыми величинами, принимающими любые значения в пределах заданных допускаемых отклонений. Так как в каждом механизме случайные величины первичных ошибок могут сочетаться различным образом, то и погрешности положений отдельных механизмов будут функциями случайных величин, а исследование точности механизмов приобретает теоретико-вероятностный характер.

Выше при выводе основного линеаризованного уравнения использовалась обычная теория изгиба балок, не учитывающая влияния деформаций сдвига, вызываемых поперечными силами. Рассмотрим вариант решения задачи устойчивости прямого стержня с учетом влияния деформаций сдвига. Воспользуемся расчетной схемой балки, предложенной С. П. Тимошенко. Согласноэтой схеме плоские сечения, до деформации балки нормальные к ее оси, остаются плоскими и после изгиба балки, но перестают быть нормальными к ее изогнутой оси. Таким образом, в схеме С. П. Тимошенко положение каждого сечения деформированной балки определяется двумя независимыми величинами: поперечным перемещением v и углом поворота сечения •& (рис. 3.22). Угол сдвига равен 7 = 0 — и', где и' — угол поворота нормали к оси балки.

Обобщенные координаты, так же как и декартовы, являются независимыми величинами, вполне определяющими положение системы. Разница между обобщенными и декартовыми координатами состоит также в том, что первые могут иметь измерение длины, отвлеченного числа, площади, угла и других параметров, наиболее удобных в данном конкретном случае, тогда как декартовы координаты имеют только измерение длины.

Пусть Rlt /?2, . . ., Rn — основные винты «-членной группы (п «^ 6). Каждый винт можно определить шестью вещественными прямоугольными (плюккеровыми) координатами, являющимися независимыми величинами. В таком случае каждый винт можно рассматривать как вектор в шестимерном пространстве. Группа из п винтов представляет «-мерное векторное подпространство. Очевидно, любой вектор этого подпространства может быть линейно выражен через « заданных линейно независимых векторов подпространства, т. е. через основные винты группы; следовательно любой винт 5 группы, может быть линейно выражен

Предположим, что коэффициенты операторов А* (г) и В* (z) являются случайными независимыми величинами, поэтому их можно представить в виде

Степень влияния автокорреляционной связи размеров и способа формирования выборок на параметры распределения медиан будем оценивать отношениями средних квадратических отклонений этих величин сг (?„) к средним квадратическим отклонениям о"нез (2П). Последние вычисляются для выборок из процессов, образованных случайными независимыми величинами, которые распределены по нормальному закону с математическим ожиданием, равным нулю, и с дисперсией, равной единице. Эти отношения для выборок из процессов II и III приводятся в таблице

Для двухмерных и трехмерных величин (рассеивание на плоскости и в пространстве), если они заданы соответственно двумя или тремя независимыми величинами (X, Y или X, Y, Z), минимально необходимыми вероятностными характеристиками являются указанные выше характеристики положения и рассеивания, заданные по отношению к каждой из независимых величин, образующих двухмерную или трехмерную величину.

Такое же совпадение имеет место и во всех тех случаях, когда двухмерная случайная величина (X, Y) образована двумя независимыми величинами с симметричными и одномодальными распределениями. Последние могут и не быть величинами X и Y.

Если за независимые переменные принять коэффициенты К], то объем будет представлять собой непрерывную функцию от этих коэффициентов. Условием минимального объема является равенство нулю частных производные от функции объема по независимым переменным, а именно :

Чтобы сохранить в этих уравнениях лишь малые первого порядка, разложим функции Т, V и Q* в ряды по всем независимым переменным q и q и ограничимся в разложениях Т и V малыми второго порядка1), а в разложении Q* — малыми первого порядка.

Эти два уравнения задают параметрическое представление кривой f(a). Кривая f(a) характеризует меры, описывающие распределение популяции и эквивалента последовательности показателей массы i(q). Пара уравнений (2.41) задает преобразование Лежандра от независимых переменных т и q к независимым переменным f и а.

Эти два уравнения задают параметрическое представление кривой f(a). Кривая f(a) характеризует меры, описывающие распределение популяции и эквивалента последовательности показателей массы t(q). Пара уравнений (2.41) задает преобразование Яежандра от независимых переменных т и q к независимым переменным f и а.

Разница между этими двумя таблицами состоит в том, что они построены по разным независимым переменным. Таблица I построена по аргументу температура, табл. II — по аргументу давление.

Продифференцировав систему уравнений (1.1) по независимым переменным, получим приращение параметров

В кинематике независимым переменным, аргументом, в функции которого определяются все другие величины, является время (. Механическим движением называют изменение с течением времени положения в пространстве точек и тел относительно какого-либо основного тела, с ко'торымгскреплена система отсчета. Кинематика изучает механическое движение точек и тел независимо'от сил, вызывающих эти двимсения. Другими словами, кинематика изучает геометрию движения. Всякое движение, как и покой, относительно и зависит от выбора системы отсчета.

Предположим, что 1-е уравнение системы (4.18) состоит из алгебраической суммы zt членов, а каждый член этого уравнения представляет собой произведение некоторых или всех переменных хъ х2, ..., хп, каждая из которых находится в некоторой степени. При этом в состав членов /-го уравнения могут в качестве множителей входить степени производных различных порядков от зависимых переменных л*+ь •••> хп по независимым переменным хъ хг, ... ..., xk.

найти некоторое экстремальное значение. Частные производные от функции g по независимым переменным lk представляют собой очень сложные функции. Кроме того, может оказаться, что искомое экстремальное значение лежит не внутри, а вне области, ограниченной дополнительными условиями. По этим причинам указанную задачу невозможно решить методами дифференциального исчисления. Вследствие сильной нелинейности здесь нельзя так же использовать методы линейной оптимизации.

Рассматриваемая модель является моделью второго порядка (по независимым переменным) и линейной по параметрам р. Вид модели (ее порядок) в значительной мере определяется величиной интервала изменения исследуемых факторов. Чем меньше значения интервалов, тем вероятнее применение линейного уравнения регрессии. Этот случай и рассматривается ниже.

В уравнении теплопроводности можно аппроксимировать конечными разностями производные не по всем независимым переменным. В итоге получим систему дифференциальных уравнений (обыкновенных или в частных производных). Если удается получить аналитическое решение такой системы, то оно будет приближенным решением, так как при конечно-разностной аппроксимации внесена погрешность в математическое описание кондуктивного процесса. Однако обычно такой прием частичной замены производных конечными разностями, 44