Независимых уравнения

Если скорости до взаимодействия z»j и г»2 фиксированы и из шести независимых уравнений определены скорости после взаимодействия v{ и г»2, то это равенство должно обращаться в тождество вида 0 = 0, каковы бы ни были эти скорости. Это заведомо возможно в том случае, когда г)

— систему из п независимых уравнений, описывающих порознь изменение каждой из главных координат 6/. Интегралы уравнений (50) имеют вид

Пусть на материальную систему, состоящую из п точек, наложено k связей вида (1.4). Это значит, что не все декартовы координаты точек системы независимы друг от друга. В самом деле, на За координат наложено k независимых уравнений связей. Решая эти уравнения связей относительно k каких-либо координат, мы выразим эти k координат через остальные Зп — k. Эти Зл — k

Систему называют статически неопределимой, если реакции внешних связей и внутренние силовые факторы не могут быть определены с помощью уравнений равновесия и метода сечений. Число неизвестных, превышающее возможное число независимых уравнений равновесия, называется степенью статической неопределимости. Степень статической неопределимости соответствует числу дополнительных связей, превышающих число связей, необходимое для кинематической неизменяемости системы.

Рама дважды статически неопределима, так как имеет пять связей (три — в заделке и две — в шарнире), а независимых уравнений равновесия — три. Заменив связи шарнира силами X, и Хг (рис. 36, б), получим эквивалентную систему. Это не единственный вариант эквивалентной системы. Заменяя соответствующими силовыми факторами две другие связи, получим новый вариант эквивалентной системы. Неизвестные Xlt X2 определяем из канонических уравнений

Для расчета на прочность и определения удлинений (укорочений) стержней, как следует из предыдущего изложения, необходимо знать продольные силы, возникающие в поперечных сечениях этих стержней. Для определения величин продольных сил служит метод сечений. Однако бывают случаи, когда применение только метода сечений не позволяет определить внутренние силовые факторы, в частности, продольные силы — число независимых уравнений статики, которые можно составить для рассчитываемой системы, оказывается меньше, чем число неизвестных усилий.

Для решения статически неопределимых задач, помимо применения метода сечений и, следовательно, использования уравнений равновесия, известных из статики, приходится составлять дополнительные уравнения, основанные на рассмотрении условий и характера деформации системы. Эти уравнения называют у равнениями перемещений. Их количество зависит от того, насколько число неизвестных усилий больше числа независимых уравнений статики или, как говорят, от степени статической неопределимости системы. Здесь ограничимся рассмотрением систем, в которых число неизвестных лишь на единицу больше числа уравнений статики (один раз статически неопределимые системы). Методику их расчета рассмотрим на примерах.

Для расчета на прочность и определения удлинений (укорочений) стержней, как следует из предыдущего, необходимо знать продольные силы, возникающие в поперечных сечениях этих стержней. Для определения величин продольных сил служит метод сечений. Однако бывают случаи, когда применение только метода сечений не позволяет определить внутренние силовые факторы, в частности, продольные силы — число независимых уравнений статики, которые можно составить для рассчитываемой системы, оказывается меньше, чем число неизвестных усилий.

Для решения статически неопределимых задач помимо применения метода сечений и, следовательно, использования уравнений равновесия, известных из статики, приходится составлять дополнительные уравнения, основанные на рассмотрении условий и характера деформации системы. Эти уравнения называют уравнениями перемещений. Их количество зависит от того, насколько число неизвестных усилий больше числа независимых уравнений статики или, как говорят, от степени статической неопределимости системы. Здесь ограничимся рассмотрением систем, в которых число неизвестных лишь на единицу больше числа уравнений статики (один раз статически неопределимые системы). Методику их расчета рассмотрим на примерах,

ФФ Число независимых переменных, характеризующих некоторую систему, должно быть равно числу степеней свободы этой системы. Поэтому при описании движения абсолютно твердого тела надо иметь шесть независимых переменных. Для их определения необходимо иметь шесть независимых уравнений движения. .

В результате получаем две системы независимых уравнений [из системы (3.44) — (3.47), аналогичной (3.48) — (3.49)]:

Решение. Применим метод сечений — разрежем тяги и приложим в местах разрезов продольные силы Nl и Л/2 (рис.240). Помимо этих сил и активной силы Р, на балку действует вертикально направленная реакцияУл шарнирно-неподвижной опоры Вообще как известно из статики, реакция шарнирно-неподвижной опоры дает две составляющих, но в данном случае к балке никаких горизонтально направленных сил не приложено и потому, очевидно, горизонтальная составляющая реакции равна нулю. Таким образом, на балку действует система параллельных сил, расположенных в одной плоскости. Для такой системы сил статика дает два независимых уравнения равновесия, а неизвестных сил три: VА, Л/j и Л/2, следовательно, задача статически неопределима. Составим уравнения равновесия:

зонтально направленных сил не приложено и потому, очевидно, горизонтальная составляющая реакции равна нулю. Таким образом, на балку действует .система параллельных сил, расположенных в одной плоскости. Для такой системы сил статика дает два независимых уравнения равновесия, а неизвестных сил три: VА, N! и Л/2, следовательно, задача статически неопределима. Составим уравнения равновесия:

Подставив (4.220) в выражение (4.219), после преобразований получаем из условий (4.218) два независимых уравнения для определения ot и а^.

Освобождаем систему от внешних связей (рис. 1.68, б). Реакции в точках Е, F, К, Н направлены вдоль стержней- (см. § 1.4). Плита находится в равновесии под действием пространственной системы параллельных сил. Как уже отмечалось, для такой системы можно составить три независимых уравнения равновесия. Неизвестных сил — четыре. Задача — статически неопределенная.

На рис. 2.38 показаны примеры статически неопределимых систем. Один раз статически неопределима стержневая система, изображенная на рис. 2.38, а. В трех стержнях возникают три неизвестных усилия, а для плоской системы сходящихся сил можно составить только два независимых уравнения равновесия.

Таким образом, система (8.24) после перехода к новым обобщенным координатам (8.25) распалась на два независимых уравнения (8.26) и (8.27), каждое из которых описывает движение с одной свободной координатой (и, или v2 соответственно). Преобразование координат, подобное выполненному выше, возможно при любом числе степеней свободы (если только трение отсутствует). Такие обобщенные координаты называются нормальными, а соответствующие им формы колебаний — нормальными формами. Особенность этих форм состоит в том, что колебания по каждой нормальной форме совершаются совершенно независимо от колебаний других форм.

Так как имеется три неизвестных усилия NI, Nt и N3 в вертикальных стержнях, а для системы параллельно направленных сил в плоскости можно составить два независимых уравнения равновесия, конструкция один раз статически неопределима. Следовательно, к уравнениям равновесия необходимо присоединить одно уравнение совместности деформаций.

На шпангоуте должны выполняться четыре условия стыковки. Характеристическое уравнение распадается на два независимых уравнения

Уравнения (5.75) распадаются на четыре независимых уравнения только для сечений, у которых центр тяжести совпадает с центром жесткости (/от = /гф = 0) • Это имеет место для сечений, обладающих двумя плоскостями зеркальной симметрии, например, для прямоугольного, эллиптического, двутаврового, или обладающих поворотной симметрией, например, для зетового сечения.. Для них второе и третье уравнения (5.75) являются уравнениями Рэлея (5.24) изгибных колебаний, а четвертое уравнение — уравнением крутильных колебаний Власова. Если сечение стержня имеет одну плоскость зеркальной симметрии, то один из моментов, /от или IIV, равен нулю и изгибные колебания в этой плоскости независимы от двух других типов колебаний.

В данном случае оно не разделяется на два независимых уравнения и без нахождения формы колебаний, соответствующей каждому из корней уравнения (11.34), вообще говоря, нельзя сказать прямой или обратной прецессии соответствует найденная ' критическая скорость.

где е '— не определенный пока, но постоянный множитель Лагранжа. Уравнения Эйлера для функционала е* опять распадаются на два независимых уравнения, первые интегралы которых будут