Независимых собственных

примером ГСП является винеровский процесс %(t), приращение которого в интервале длины t не зависит от приращения в интервалах, не пересекающихся с данным.и имеет нормальное распределение с математическим ожиданием и дисперсией, пропорциональными t. Такой процесс выступает в качестве предельного для последовательности сумм независимых случайных величин при весьма общих условиях. ГСП широко при-меняютв автоматического управления теории в связи с тем, что при пропускании его через линейную систему управления вновь получается ГСП . Исследованы многие свойства траектории ГСП , имеющие прикладное значение: характеристики локальных экстремумов, огибающих, пересечений уровня и др. Построена теория обнаружения сигналов на фоне помех, описываемых гауссовскими случайными процессами.

XU - КВАДРАТ РАСПРЕДЛЕНИЕ. Пусть V2,...,zn есть п независимых случайных величин, каждая из которых имеет нормальное распределение с нулевым средним и единичной дисперсией. Определим новую случайную величину вида

где а - матем. ожидание, а ст2 - дисперсия случайной величины х. Н.р. возникает, когда данная случайная величина представляет собой сумму большого числа независимых случайных величин, каждая из к-рых играет в образовании всей суммы незна-чит. роль. Мн. случайные величины, встречающиеся в прикладных вопросах (напр., распределение случайных ошибок измерений), имеют распределения, близкие к Н.р.

Более полная схема потери работоспособности узла трения должна учитывать начальное рассеяние параметра U, полученное в процессе приработки. Следовательно, срок службы узла трения является функцией двух независимых случайных аргументов а„ и у:

где а — математическое ожидание, а а2 — дисперсия случайной величины X. Мн. случайные величины, встречающиеся в прикладных вопросах (напр., распределение случайных ошибок измерении), имеют распределения, близкие к Н. р. Это объясняется тем, что Н. р. возникает, когда данная случайная величина представляет собой сумму большого числа независимых случайных величин, каждая из к-рых играет в образовании всей суммы незначит. роль.

где а — начальный параметр изделия (например, точность изготовления детали), который также является случайной величиной и подчиняется некоторому закону распределения. Срок службы является функцией двух независимых случайных аргументов a и -

Если имеется несколько одновременно действующих факторов, то суммарный эффект может быть оценен вероятностным методом сложения дисперсий отдельных процессов. Так, при начале работы машины могут действовать две основных причины — происходит рассеивание параметра X относительно центра группирования я0 в пределах поля Лн за счет погрешностей изготовления и настройки машины и рассеивание параметра X в пределах поля Ав в результате вибраций машины или деформаций ее элементов при работе в различных режимах. В этом случае поле рассеивания Аг параметра X будет складываться из Лн и, Л„. Применяя теорему о сложении дисперсий независимых случайных величин [22], т. е. вероятностный метод сложения, получим

лево так называемой центральной предельной теоремой, по которой сумма большого числа независимых случайных величин с произвольными распределениями имеет распределение нормальное или почти нормальное. Его практическое значение состоит в том, что большое число физических случайных процессов, в том числе акустические сигналы многих технических объектов, нормальны или близки к нормальным.

Из теории вероятностей известно, что вероятность появления двух независимых случайных событий равна произведению вероятностей появлений каждого события в отдельности. Аналогичное

Для указанных выше задач в результате однократного выполнения процедуры независимого случайного поиска для исследуемой системы определяется в общем случае несколько частных оптимальных решений, отвечающих различным критериям эффективности. Полученные решения обеспечивают необходимую информационную основу для применения неформальных методов на заключительной стадии синтеза многокритериальных задач с ненормализуемыми локальными критериями эффективности. При независимом глобальном поиске в качестве пробных точек, помимо независимых случайных точек, можно использовать некоторые равномерные распределения псевдослучайных чисел: ЛП-поиск [90], ПЛП-поиск [87]. На основе указанных методов могут достаточно эффективно решаться различные оптимизационные задачи динамики машинных агрегатов [28].

Эта вероятность может быть выражена через плотность распределения f(x, у) системы двух независимых случайных величин X и У, равную произведению их' плотностей распределения [2]:

где Ь и х — совокупность линейно независимых собственных функций исходного уравнения и сопряженного с ним; А — матрица, голоморфная по параметру к в круге радиуса больше единицы. Необходимые и достаточные условия разрешимости уравнения на спектре имеют вид

Если матрица А — ЯЕ имеет дефект do, то собственному числу Я соответствует d0 линейно независимых собственных векторов.

Если Яь Яг, ..., Яр — различные между собой собственные числа и матрицы А — Я1Е, А — ЯаЕ, ..., А — ЯРЕ имеют соответственно дефекты rfb d2, • •. ..., dp, то всего имеется di + ^2 + • •. + dp линейно независимых собственных векторов; такая система векторов называется полной.

Если число линейно независимых собственных векторов матрицы равно ее порядку ft, то говорят, что матрица имеет простую структуру. В этом случае дефект матрицы А — ЯуЕ равен кратности т/ соответствующего собственного числа Я/, т. е. rf/ = т/.

Двукратные собственные частоты. Наиболее существенной особенностью спектров собственных- частот любых линейно-упругих систем, обладающих поворотной симметрией, является, как показано выше, присутствие в них пар линейно-независимых собственных колебаний с совпадающими собственными частотами.

Главные специфические особенности колебаний поворотно-симметричных систем связаны с присутствием в их спектрах двукратных собственных частот. Частоту, принадлежащую спектру собственных частот системы, называют г-кратной, если ей соответствует г линейно-независимых собственных функций.

В этом выражении г линейно-независимых собственных функций qn+/(X) не обязательно попарно взаимно ортогональны, хотя каждая из «их всегда ортогональна к любой .из множества собственных функций, соответствующих другим собственным частотам. Эти г функций могут быть всегда взаимно попарно ортогонализо-ваны и тем самым органично включены в общее замкнутое множество всех взаимно ортогональных собственных форм системы, образующих полный базис. В соотношении ,(2.2) собственные функ-чп;; предполагаются взаимно ортогональными и нормированными. Такое представление свободных колебаний, совершающихся с кратной собственной частотой, далее именуется каноническим.

способна вызвать вынужденные колебания осесимметричной системы лишь по тем собственным формам, для которых тт=>т. По отношению к другим собственным формам о'на будет ортогональной. При т=т^0 каждой собственной частоте р системы отвечает пара линейно-независимых собственных 'колебаний

Использование этого принципа облегчает качественный анализ и толкование спектров сложных упругих систем. Строгое обоснование его в столь общей 'формулировке отсутствует, однако, исходя из общих физических соображений, справедливость его не должна вызывать, как нам представляется, сомнений. Важно иметь в виду, что в процессе трансформации системы, так же как для исходной или завершающей конфигураций ее, возможно слияние тех или иных собственных частот, т. е. появление кратных собственных частот. Свободным колебаниям системы с кратной собственной частотой соответствует, как отмечалось ранее, возможность проявления числа степеней свободы ее, равного кратности частоты. Слияние частот не означает утраты независимых собственных движений. Последующая трансформация системы способна вызвать расслоение (расщепление) ранее слившихся (и ставших кратными) частот.

Таким образом, независимые колебания совокупности отдельных лопаток всегда можно представить как суперпозицию собственных колебаний, свойственных поворотно-симметричной системе. На рис. 6.10 приведена схема, иллюстрирующая спектр колебаний лопаточного венца с недеформируемым и жестко закрепленным диском, когда такая система рассматривается как поворотно-симметричная. Спектр ее собственных частот совпадает со спектром собственных частот любой из одинаковых лопаток, закрепленных на диске. В то же время кратность каждой собственной частоты системы соответствует числу лопаток, т. е. каждой собственной частоте отвечают S линейно независимых собственных форм [имеется в виду, что для любого т (0
То, по какой конкретно из собственных форм происходит потеря устойчивости, зависит от конкретных сложившихся условий динамического взаимодействия рабочего колеса с потоком. Эти условия зависят как от параметров потока и условий обтекания им рабочих лопаток, так и от динамических свойств собственно рабочего ;колеса, проявляющихся через его спектр собственных движений и .диссипативные особенности. С повышением плотности спектра собственных частот при наличии газодинамической связанности между лопатками вероятность возникновения автоколебаний возрастает, поскольку в зонах сгущения собственных частот рабочее колесо способно проявлять себя как система со многими степенями свободы, и этим облегчаются условия синтеза формы потери устойчивости в виде благоприятной суперпозиции множества независимых собственных форм, при которой системе потерять устойчивость наиболее «удобно». В подобной ситуации потеря устойчивости сопровождается самосинхронизацией колебаний по различным собственным формам при амплитудно-фазовых их соотношениях, благоприятствующих потере устойчивости. Частота синхронных колебаний вблизи границы устойчивости близка к некоторой средней частоте сгущения собственных частот.