Независимых обобщенных

где No — число Авогадро; I — число степеней свободы (число независимых координат, ко-

1. Выбрать систему независимых координат qlt... , qn, в которых хотят записать уравнения движения.

При движении точек в одной плоскости положение каждой из них определяется двумя координатами. По условию расстояние между точками не изменяется, следовательно, независимых координат будет три, т. е. рассматриваемая материальная система имеет три степени свободы. За Рис- 2-6- обобщенные координаты примем q\ — г.

Если абсолютно жесткое тело не вполне свободно, то оно обладает меньшим числом степеней свободы. Если такое тело закреплено неподвижно в одной точке, вокруг которой оно может вращаться, то из шести независимых координат три координаты неподвижной точки фиксированы и для определения положения тела должны быть заданы только три координаты. Следовательно, абсолютно жесткое тело, одна точка которого закреплена неподвижно, обладает тремя степенями свободы.

Если абсолютно жесткое тело закреплено на неподвижной оси, вокруг которой оно может вращаться, то это означает, что фиксировано положение двух вершин треугольника. Из шести независимых координат заранее фиксированы пять (координаты двух вершин треугольника, т. е. двух точек, расстояние между которыми также фиксировано), и для определения положения тела должна быть задана только одна координата. Тело, закрепленное на оси, обладает одной степенью свободы.

Расчетные модели систем. Сложность теоретического анализа колебаний механической системы зависит преимущественно от числа степеней свободы — числа независимых координат, определяющих однозначно положения всех материальных точек системы.

1. Структурная формула. Число степеней свободы механизма равно числу независимых координат, задание которых однозначно определяет положение всех его звеньев (или их точек) относительно выбранной системы отсчета.

Уравнение (1,3) определяет зависимость одной из координат от других. Уравнения этого типа, связывающие координаты точек системы, называют уравнениями связи. Каждое из уравнений связи уменьшает число независимых координат на единицу. Следовательно, для определения положения эвена в плоскости

Для определения числа степеней свободы механизма с голономными связями достаточно найти общее число координат, определяющих положения всех звеньев механизма, и число уравнений, связывающих эти координаты. Разность между этими числами дает число независимых координат, если все уравнения связи независимы, т. е. ни одно из них не может быть получено как следствие других.

Если все уравнения связи независимы, т. е. ни одно из них не может быть получено как следствие других, то разность между общим числом координат и числом уравнений, связывающих эти координаты, дает ч.исло независимых координат (число степеней свободы механизма):

Выбор начальных звеньев при определении положений звеньев механизма. За обобщенные координаты механизма можно принимать любую совокупность независимых координат, определяющих положение всех звеньев механизма относительно стойки. Отсюда следует, что в выборе начальных звеньев, т. е. звеньев, которым приписывается одна или несколько обобщенных координат механизма, возможен некоторый произвол. При определении положений звеньев механизма не обязательно, чтобы начальные звенья совпадали с входными. В частности, удобно за начальные принимать те звенья, при которых наивысший класс структурных групп, входящих в состав механизма, оказывается минимальным. Например, в механизме, схема которого показана на рис. 18, при начальном звене / (или звене 3) имеются две двухповодковые группы 2—3 и 4—5 (или 1—2 и 4—5), а при начальном звене 5 — одна трехповодковая группа (группа третьего класса). С повышением класса группы увеличивается трудоемкость построений или вычислений, необходимых для определения положений звеньев группы, поэтому за начальные звенья целесообразно выбирать или звено /, или звено 3.

Возьмем теперь в качестве квазискоростей s— d независимых обобщенных скоростей
координат и числом уравнений, связывающих эти координаты, дает число независимых (обобщенных) координат, равное числу степеней свободы механизма:

Уравнения Аппеля составляются только для независимых обобщенных координат, число которых равно числу степеней свободы s — т:

число которых равно числу независимых обобщенных координат. Как уже отмечалось, уравнения Лагранжа второго рода являются уравнениями Эйлера вариационной задачи для 5. Учитывая, что

Более сложной задачей программного управления является перевод некоторой механической системы из одного положения в другое (иными словами, изменение пространственной конфигурации системы). Программное управление, обеспечивающее решение такой задачи, называется позиционным; оно характерно для всевозможных транспортирующих машин, в том числе и для роботов-манипуляторов, основной задачей которых является обычно транспортирование различных механических объектов. В большинстве случаев позиционное управление должно обеспечивать движение транспортируемого объекта по определенной траектории; закон движения имеет обычно второстепенное значение, и требования к нему сводятся к обеспечению выполнения заданного перемещения за заданное время. Тем не менее в системах с несколькими степенями подвижности для получения требуемой траектории необходимо согласование законов изменения во времени независимых обобщенных координат системы. Наиболее сложная задача ставится перед так называемым непрерывным

Одновременно с уравнениями (10.7) необходимо рассматривать соотношения (10.6). Разрешая совместную систему уравнений (10.6) и (10.7) относительно вектор-функции qk независимых обобщенных координат, уравнения движения линейной голоном-

жестве так называемых Г„ -моделей с /ьвырожденной инерционной IU + р) X (п + р)]-матрицей, у которой р диагональных элементов равны нулю [20, 39]. Графы таких моделей характеризуются наличием соответственно р безынерционных узлов (рис. 68). Упомянутая Т„ модель описывает поведение га-мерной динамической системы с тг-мерным вектором q независимых обобщенных координат и с р голономны- ©---

Исключая переменные Л и б, можно разрешить систему уравнений (13.6) относительно вектора V независимых обобщенных координат машинного агрегата в целом:

При этом не накладывается никаких ограничений на смещения и скорости сосредоточенных масс. Иначе говоря, цепная динамическая схема описывает идеализированное динамическое поведение системы в независимых обобщенных координатах. Строго говоря, определение структуры и параметров цепной динамической схемы механической системы должно производиться на основе математиче-

Структура цепной динамической схемы несвободной механической системы устанавливается на основе анализа дифференциальных уравнений, описывающих идеализированное поведение системы в независимых обобщенных координатах. Рассмотрим для примера реечный механизм, состоящий из зубчатого колеса / и рейки 2, на которые действуют соответственно момент Мг (t) и сила Р2 (0 (рис. 6, а). Если учитывать упругие свойства подшипниковых опор и вала зуб-

Уравнения, описывающие поведение рассматриваемой системы в независимых обобщенных координатах фъ яа представим в виде