Нестационарном нагружении

В третьей главе на примере одномерного нестационарного уравнения теплопроводности рассмотрены конечно-разностные методы решения краевых задач. Описываются также основные вычислительные схемы для решения многомерных и нелинейных уравнений. Разбираются примеры программ для решения одномерного и трехмерного нестационарных уравнений теплопроводности. Материал этой главы используется далее в главах 4 и 5.

Разностная схема и разностное решение. Основные понятия теории разностных схем разберем на примере одномерного нестационарного уравнения теплопроводности для пластины с внутренним источником теплоты

Мы рассмотрели построение разностной схемы методом баланса для стационарного уравнения. Его целесообразно применять и для нестационарного уравнения. В принципе вопрос о том, на каком временном слое брать аппроксимацию пространственного оператора, мы уже обсудили в §3.2. Поэтому для перехода к нестационарной задаче достаточно в приведенных выше аппроксимациях пространственного оператора поставить у сеточных функций индекс настоящего / или предыдущего (/ — 1) момента времени. Однако для уравнений, содержащих коэффициенты, зависящие от времени, целесообразно использовать метод баланса в нестационарном варианте. Кроме того, на основе такого подхода проще получать аппроксимации для граничных условий и пояснять их физический смысл.

Рассмотрим построение консервативной разностной схемы в случае нестационарного уравнения для стержня с боковым теплообменом:

Перейдем к методике составления программ численного решения одномерных нестационарных задач. Рассмотрим в качестве примера программу для решения по неявной схеме нестационарного уравнения (3.49) для стержня с боковым теплообменом при ау = = const с граничными условиями третьего рода (3.2) и начальным условием (3.3) при Т0 = const (рис. 3.8).

1 С ПРОГРАММА ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ОДНОМЕРНОГО НЕСТАЦИОНАРНОГО УРАВНЕНИЯ

Мы рассмотрели конечно-разностные схемы для решения стационарного уравнения энергии. В случае нестационарной задачи построение соответствующих схем производится на основе приведенных аппроксимаций конвективного и кондуктивного потоков точно так же, как это делалось для нестационарного уравнения теплопроводности, т. е. можно использовать явную или неявную схемы. В явной схеме потоки берут с предыдущего шага, в неявной — с текущего. Можно ввести и схему с весами. Отмеченные выше отрицательные и положительные свойства аппроксимаций (5.6) — (5.8) проявляются и при решении нестационарных задач. В частности, даже неявная схема с разностью вперед является неустойчивой при любом соотношении шагов по пространственной и временной переменным. С другой стороны, неявная схема с аппроксимацией разностью против потока безусловно устойчива.

Ниже приводится текст программы (рис. 5.6), предназначенной для расчета температурного поля жидкости по разностной схеме (5.27) — (5.32) и определения локальных коэффициентов теплоотдачи а. (гт). Алгоритм расчета и структура программы в основном аналогичны рассмотренным ранее в § 3.5 для одномерного нестационарного уравнения теплопроводности, только вместо цикла по времени организован цикл по поперечным сечениям zm(m — 1, ..., /V2). Поэтому отметим лишь некоторые особенности этой программы.

Перейдем к построению решения в случае нестационарной задачи, когда возникает необходимость в исследовании переходного процесса и связанного с ним определения вероятностных характеристик движения системы. Для решения нестационарного уравнения ФПК -Р. Л. Стратонович рекомендует использовать метод разделения переменных и искать решение в рядах по собственным функциям. 'Этот классический метод решения уравнений приводит к тому, что нестационарное решение выражается в форме

1 Иной вариант решения нестационарного уравнения ФПК см. § 5. 13 Н. А. Нвкрлаенко 193

Для решения уравнения ФПК (4.97) можно также использовать и другие приближенные методы, например метод последовательных приближений, беря за первое приближение решение нестационарного уравнения ФПК для линейной задачи.

Дня оценки прочности при нестационарном нагружении применяют схематизацию. Наиболее точным методом схематизации считают метод полных циклов.

При нестационарном нагружении цепи в эту формулу вместо F, подставляют значение эквивалентной нагрузки.

Влияние перегрузок и перегревов на прочность деталей, подвергающихся сложному нагружению, можно оценить, лишь установив закономерности накопления повреждений в каждом случае при нестационарном нагружении и нагреве.

ности использование аппарата дробно-экспоненциальных функций, развитых для описания процессов ползучести [24, 25] не-линейно-вязко-упругих тел, для расчетов процессов циклической ползучести при нестационарном нагружении, для случая релаксации и т. п.

Повреждения при нестационарном нагреве и нестационарном нагружении в какой-то мере подобны, что является следствием деформационной природы наблюдаемых повреждений. Так, для некоторых жаропрочных сплавов получена корреляция величин ат =»

Закономерности процесса накопления усталостных повреждений подвергаются исследованию прямыми и косвенными методами, т. е. путем сопоставления опытных данных при нестационарном переменном нагружении с феноменологическими гипотезами, с одной стороны, и измерением изменения твердости, акустической или магнитной проницаемости, с другой. Устанавливаются границы применимости простого линейного суммирования относительных долговечностей, оправдывающегося в основном для напряжений, превышающих предел усталости, и оценивается нижняя граница повреждающих напряжений, существенно меньшая исходного предела усталости. Для уровней напряжений, находящихся в окрестности предела усталости, накопление повреждения оказывается замедленным по сравнению с линейной гипотезой, и для ее использования предлагаются поправки, зависящие главным образом от формы спектра. Они оказываются особенно существенными для контактных напряжений. Наряду с использованием гипотез о накоплении повреждения используются свойства вторичных кривых усталости, получаемые для параметров типизированных спектров эксплуатационной нагруженное™. Эти результаты способствовали усовершенствованию расчета на усталость при нестационарном нагружении, отразив в ряде случаев существенную роль для запаса прочности части спектра напряжений ниже предела усталости.

Исследование характеристик сопротивления усталости образцов и натурных деталей машин при нестационарном нагружении является необходимым условием совершенствования методов и уточнения результатов расчетной и экспериментальной оценки долговечности деталей, работающих при изменяющихся циклических нагрузках. Такие исследования связаны с испытаниями Деталей машин и образцов при программируемых режимах, моделирующих процессы эксплуатационного нагружения.

Рассмотренные предпосылки составления режимов испытаний образцов, основанные на силовом подобии или подобии повреждающего воздействия спектра эксплуатационной нагруженное™ деталей и программного испытания образцов, не проверены достаточно экспериментом. Дальнейшее проведение программных испытаний" позволит уточнить принципы моделирования и закономерности усталостных разрушений при нестационарном нагружении. " . •

Это деление в определенной мере является условным, так как в ряде случаев установки ОНД позволяют реализовывать трехосное нагружение, установки ОНД или ОН К могут быть переделаны в установки ОНКД и т. д. Классифицируют установки также по способу создания усилия: непосредственный (путем подвески калиброванных грузов), механический (с ручным и электрическим приводом), электромагнитный, гидравлический и электрогидравлический. Непосредственный и электромагнитный способы в основном применяют при изучении явлений, связанных с временными эффектами (ползучестью, релаксацией и т. п.) механический и гидравлический — при изучении статического и циклического стационарного нагружения 1, электрогидравлический — при нестационарном нагружении. В ряде случаев применяют и другие способы создания нагрузок, например термоциклирова-ние (создание напряжений за счет нагрева и охлаждения стесненного образца), но они ограничены специальными областями исследований.

В сборнике рассматриваются вопросы динамики, прочности и НДС элементов машин, сопротивления усталостному разрушению различных материалов при стационарном и нестационарном нагружении, повышения надежности и работоспособности деталей машин.

Повышение несущей способности подшипника в результате периодического сближения вала и подшипника под действием переменной нагрузки наблюдается и при нестационарном нагружении, хотя и не учитывается расчетом.