Нестационарной теплопроводности

В третьей главе на примере одномерного нестационарного уравнения теплопроводности рассмотрены конечно-разностные методы решения краевых задач. Описываются также основные вычислительные схемы для решения многомерных и нелинейных уравнений. Разбираются примеры программ для решения одномерного и трехмерного нестационарных уравнений теплопроводности. Материал этой главы используется далее в главах 4 и 5.

1 С ГОЖЯНЛЯ ПРОГТАША РПЕНИЯ СИСТЕМЫ НЕСТАЦИОНАРНЫХ УРАВНЕНИЙ

2 С НЕСТАЦИОНАРНЫХ УРАВНЕНИЙ ТЕПЛОВОГО БАЛАНСА

Расчет теплового режима системы тел с лучистым теплообменом. В ряде случаев расчет результирующих потоков излучения необходимо проводить в рамках общего анализа теплового режима системы тел, при котором задаются мощности источников теплоты, действующих в них, а температуры тел подлежат определению. В главе 1 была приведена одна из возможных постановок такой задачи при допущении о равномерности температурных полей входящих в систему тел. Система нестационарных уравнений теплового баланса для определения среднеобъемных температур Tt с учетом лучистого теплообмена имеет вид

Кроме того, задача ставится как сопряженная, т. е. к системе одномерных, нестационарных уравнений сохра-

Каждой выделенной области соответствуют своя система нестационарных уравнений для потока и общая (с точностью до удельного теплового потока через поверхность теплообмена) система уравнений для среднеинте-гральной температуры стенок канала.

Расхождение в результатах объясняется различием критериев устойчивости решений стохастических дифференциальных уравнений и выбором методики исследования. Отметим, что данная методика дает возможность исследовать приближенными методами движение систем в переходных режимах как при стационарных, так и нестационарных возмущениях, а в сочетании с методом статистической линеаризации перенести изложенные выше ' результаты на случай существенно нелинейных параметрических систем. В работе [54 ] исследование подобных систем приведено с использованием асимптотического метода и нестационарных уравнений ФПК. Из уравнений (6.58), (6.59) следует, что наличие флюктуации при линейных членах / и ./ приводит к увеличению дисперсии движения системы. Из рис. 70 видно, что наличие флюктуации в нелинейных членах также приводит к изменению дисперсии системы по сравнению с системой с постоянными параметрами. Однако, как нетрудно показать из анализа выражения (6.54), увеличение дисперсии флюктуации в нелинейных членах приводит к уменьшению дисперсии. В работе [27 ] рассмотрена проблема снижения резонансных амплитуд за счет введения флюктуации при линейном члене /. При этом введение флюктуации предполагалось кратковременным. Выражение (6.54) показывает новые возможности при решении подобных проблем в сочетании с принципом управления по возмущению (компенсация возмущений).

В теории нестационарных течений есть еще много невыясненных вопросов. В виду пока непреодолимой сложности решения полной системы нестационарных уравнений Навье-Стокса нет законченной теории колеблющихся течений. Поэтому теория таких процессов, как правило, базируется на упрощенных моделях, достоверность которых проверяется экспериментально.

Следует отметить, что наличие нелинейного члена А (р«)2 в выражении для касательного напряжения существенно усложняет решение нестационарных уравнений: появляются гармоники с удвоенной частотой. Для приближенных оценок можно воспользоваться методом гармонической линеаризации. Идея метода гармонической линеаризации заключается в следующем. Квадратичную временную зависимость касательного напряжения на стенке канала можно заменить эквивалентной синусоидальной зависимостью Д-% = A sin cot таким образом (рис. 2), чтобы

Существующие методы решения нестационарных уравнений гидродинамики в колеблющихся потоках основаны на упрощающих систему уравнений допущениях, достоверность которых требует экспериментальной проверки. Одним из наиболее распространенных приближенных методов анализа нестационарной гидродинамики является метод последовательных приближений. Рассмотрим этот метод на примере плоского нестационарного пограничного слоя.

При использовании метода последовательных приближений решение нестационарных уравнений пограничного слоя можно записать в виде следующего ряда:

величина, характеризующая скорость выравнивания темп-ры среды при нестационарной теплопроводности. Т. а = Х/(Срр), где X -теплопроводность среды, а Ср и р - её уд. теплоёмкость при пост, давлении и плотность. Единица Т. (в СИ) - м2/с. ТЁМПЛЕТ (англ, templet, template -шаблон, лекало, модель) - плоская масштабная модель единицы оборудования (аппаратов, машин, строит, узлов, конструкций), изготовл. фото-графич. (фотомодельное проектирование) или др. способами копирования. Применяется при проектировании сложных пром. установок, сооружений, стройплощадок и т.п. Т. могут использоваться многократно, часто в сочетании с магн. планировочной доской. Использование Т. упрощает графич. работы, улучшает качество и сокращает сроки проектирования.

При решении задач нестационарной теплопроводности важное значение имеют критерии Фурье и Био.

Методы нестационарной теплопроводности. Данные методы базируются на частных решениях дифференциального уравнения теплопроводности

На этой стадии определяющими являются условия на границах тела. Третья стадия соответствует режиму стационарной теплопроводности. Задачи нестационарной теплопроводности решаются как точными аналитическими, так и приближенными численными методами. Рассмотрим один из аналитических методов — метод разделения переменных или метод Фурье. При постоянных физических свойствах тела и qv = О уравнение (2.5) принимает вид

Задачи нестационарной теплопроводности для некоторых тел ограниченной протяженности (цилиндра, параллелепипеда, призмы) могут быть решены с помощью принципа наложения решений. Например, если цилиндр дайной 28 помещен в среду с температурой Тж, то при интенсивности теплоотдачи ос, одинаковой со всех сторон, его температура определится произведением 0Ц0П безразмерных температур бесконечного цилиндра того же радиуса и неограниченной пластины толщиной 26. Справедливость этого можно установить путем подстановки произведения 0Ц0П в исходное уравнение. Однако принцип наложения решений применим только для тех задач, которые описываются уравнением теплопроводности в линейном приближении, т. е. при постоянных значениях X, с и р и линейных граничных условиях.

Конечно-разностные схемы для решения двухмерных и трехмерных задач. Рассмотренный выше метод решения систем неявных конечно-разностных уравнений применим и при решении двухмерных задач нестационарной теплопроводности в случае использования следующей разностной схемы переменных направлений:

ФОРТР АН-программа численного решения задачи нестационарной теплопроводности

Для расчета процесса нестационарной теплопроводности на ЭВМ ниже приводится программа численного решения задачи теплопроводности для неограниченной плоской металлической стенки, покрытой слоем тепловой изоляции, с учетом переменных граничных условий третьего рода (см. рис. 2.3). Алгоритм

Необходимые и достаточные условия подобия физических явлений. Понятие подобия можно использовать не только в геометрии, но и распространить на физические явления. Подобными могут быть явления, имеющие одну и ту же физическую природу. Для подобия физических явлений необходимо, чтобы поля всех физических величин, характеризующих исследуемые явления, отличались только масштабом. Рассмотрим в качестве примера подобие процессов нестационарной теплопроводности. Из уравнения теплопроводности (2.25) с учетом геометрических, физических, граничных и начальных условий следует, что явление теплопроводности в одномерном приближении характеризуется восемью размерными величинами

Время нагрева тел в печах вычисляется с помощью номограмм, построенных на основе критериальных уравнений нестационарной теплопроводности тел простейшей формы (пластина, цилиндр, шар). Так, для пластины толщиной 2S критериальное уравнение имеет вид

Метод нестационарной теплопроводности позволяет п ряде случае!! пронодмть измерения при непрерывном изменении температуры до желаемого ее значения. Это даст возможность получить сразу соответствующую непрерывную кривую изменения измеряемого теплового параметра в широком интервале температур, в то время как во всех стационарных методах такие кривые строятся по нескольким опытным: точкам, соответствующим различным стационарным тепловым режимам, число которых обычно ограничено. Измерения тепловых параметров различных веществ производятся при относительно небольших перепадах температур, что приближает их средние значения к истинным. Последнее делает нестационарные методы предпочтительными для исследования тепловых параметров влажных материалов.