Динамического программирования

Значительные успехи достигнуты в изучении динамического поведения композиционных материалов. Здесь выявлены интересные эффекты, возникающие, например, в слоистых композитах. Эти вопросы рассмотрены в главе 8.

Мы ограничились статическими задачами механики композитов. Некоторые аспекты динамического поведения композиционных тел будут обсуждаться в гл. 8,

Большая часть главы посвящена обзору литературы по исследованию вязкоупругого поведения композиционных материалов, в частности новейшим направлениям исследований. Приводятся некоторые новые результаты, касающиеся определения верхней и нижней границ эффективных комплексных модулей и податливостей, а также анализа динамического поведения композитов; описывается простой метод обобщения решений динамических задач теории упругости с учетом микроструктуры на задачи вяэкоупругости.

Так как в задачах о распространении волн характерный размер неоднородности деформации имеет первостепенную важность, первой тестовой задачей, из которой можно извлечь информацию о пригодности той или иной теории к исследованию динамического поведения, является задача распространения гармонических волн в бесконечной композиционной среде. Характерным размером здесь является длина волны Л, которая обычно вводится при помощи волнового числа k = 2я/Л. При наличии дисперсии гармонические волны различной длины распространяются с разными скоростями. Теория эффективных модулей непригодна для описания этого факта, так как классическая модель анизотропного континуума не может объяснить явление дисперсии свободных гармонических волн, которое имеет место в композиционной среде достаточной протяженности в том случае, когда длина волны имеет тот же порядок, что и характерный размер структуры. Для слоистой среды,

В настоящей главе была сделана попытка дать сводку результатов, полученных в различных экспериментальных и теоретических работах по волнам и колебаниям, возникающим в направленно армированных композитах, для случая малых деформаций и линейных определяющих уравнений. Эта попытка представляется своевременной, так как за последние годы достигнуты значительные успехи в понимании особенностей линейного динамического поведения композиционных материалов. Линейная теория с ее точными результатами для слоистой среды и различными хорошо обоснованными приближенными подходами к описанию как слоистых, так и волокнистых композитов в настоящее время близка к полному завершению. Этот объем теоретических сведений дополняется экспериментальной проверкой результатов, относящихся к распространению сину-соида'льных волн и импульсных возмущений. Следует отметить, однако, что необходимость проведения дальнейших экспериментальных исследований все еще остается важной. Многое еще предстоит сделать и в решении задач с нестационарными волнами, в особенности в определении локальных значений полевых переменных, таких, как напряжения на поверхности раздела фаз и динамическая концентрация напряжений.

Вопросы динамического поведения композитов, в частности распространение колебаний, являются чрезвычайно сложными, даже в области линейно упругого поведения [36—41]. При решении динамических задач в любом случае замены композита эквивалентным квазиоднородным материалом следует ожидать появления моментных эффектов. Основные теоремы механики для линейно упругого динамического поведения позволяют применять квазистатические методы анализа. Однако нет оснований ожидать, что удастся создать аналогичный метод для анализа неупругого динамического поведения композитов.

Таким образом, распределение напряжений и деформаций по длине стержня зависит от динамического поведения материала только при рассмотрении начального периода распространения упруго-пластической волны на участке стержня, прилегающем к нагружаемому концу. На значительном расстоянии от конца стержня при временах действия нагрузки t^>t, распространение волны удовлетворительно описывается деформационной теорией в соответствии со статической кривой деформирования. Следовательно, деформационная теория Кармана — Рах-матулина и теория Соколовского — Мальверна дают совпадающие результаты при описании распространения упруго-пластической волны в тонких стержнях из материала, чувствительного к скорости деформации. Исключением является начальный период распространения волны вблизи нагружаемого конца, где высокая скорость деформации приводит к высокому уровню вязкой составляющей сопротивления. Чем выше характерное время релаксации напряжений для материала, тем на большем участке стержня вязкость оказывает влияние на распространение упруго-пластической волны.

301. Шапиро Г. С. О моделях динамического поведения пластических тел.— Материалы летней школы по проблеме «Модель жесткопластического тела в теории пластин и оболочек». Кяэрику, 1969, с. 38—44.

Данные таблицы 17.26 показывают сравнительно малое отличие значений частот первого спектра, найденных по приближенным формулам С. П. Тимошенко от точных значений. К тому же следует иметь в виду, что при определении этих частот по точным формулам возникают малые разности больших величин, в связи с чем приходится при вычислениях сохранять большое количество значащих цифр. Поэтому частоты первого спектра целесообразно находить по приближенным формулам. Что же касается частот второго спектра, то их можно находить, пользуясь лишь точными формулами. Практическая важность и этих частот (возникновение резонансов при совпадении с ними получившего практическую реализацию значения частоты вынуждающей силы) обнаружилась значительно позже работы С. П. Тимошенко, в которой дано приближенное решение, вовсе не позволяющее находить частоты второго спектра. Обсужденный факт свидетельствует о необходимости весьма осторожного подхода к упрощениям при исследовании динамического поведения систем.

Для более подробной качественной оценки динамического поведения ударного механизма уравнения (9а) и (Юа) были решены на электронной модели Ч

В общем случае, при полном исследовании динамического поведения машинного агрегата в широком диапазоне частот, вращающий момент Mj = Mj(q, qv, Q, рс, pia, u) принимается в виде

В зависимости от вида целевой функции, а также от вида ограничений существуют раз личные методы оптимизации (методы дифференциального исчисления, методы множителей Лагранжа, методы линейного и нелинейного программирования, методы динамического программирования и т. д.). Пример использова ния метода множителей Лагранжа для некоторых задач оптимизации конструкций дан в кии-ге [23].

Структура дифференциальных методов допускает возможность использования динамического' программирования: заданный путь нагружения разбивается на достаточно малые этапы и на каждом последующем этапе в качестве начальных условий принимаются результаты, полученные на предыдущем этапе (при этом легко учесть смену условий нагружония). Многократное (пошаговое) применение дифференциальных методов позволяет рассчитать всю траекторию трещины.

Разработаны многочисленные методы решения задачи оптимизации при различных видах целевой функции, уравнений связи и типах ограничений, которые условно можно подразделить на две группы: а) классические (метод дифференциального исчисления, метод множителей Лагранжа, вариационное исчисление): б) метод математического программирования (методы линейного и нелинейного программирования, метод динамического программирования, принцип максимума Понтрягина и др.).

Если операция естественно разделяется на ряд этапов (шагов), а критерий эффективности выражается суммой показателей, достигнутых за отдельные этапы, можно применить метод динамического программирования. Существуют и другие численные методы оптимизации.

Для выбора оптимального варианта по максимуму целевой функции удобен метод динамического программирования. Процесс поиска решения при динамическом программировании следует разделить на ряд последовательных шагов (этапов) по числу функциональных групп, и на каждом этапе выбрать оптимальные варианты роторов, систем загрузки-выгрузки, привода и управления.

Оптимизация каждого шага должна производиться с учетом его влияния на последующих этапах, и лишь последний шаг оптимизируется независимо от других. Поэтому маршрут поиска оптимального варианта проходится дважды; сначала от конца процедуры к ее началу с .нахождением на каждом шаге экстремумов Fa, а затем от начала к концу. При вторичном прохождении маршрута оптимизации находят действительные оптимальные решения на всех шагах динамического программирования.

Решение задач оптимального управления ПР основано на использовании принципа максимума Л. С. Понтрягина и метода динамического программирования. Поиск оптимального решения многовариантной задачи производится с использованием ЭВМ.

К задачам оптимизации [65] в технической диагностике применимы математические методы линейного, нелинейного и динамического программирования, теорий массового обслуживания, сетевого планирования и т.д. Применение сложного математического аппарата для решения задач, связанных с технической диагностикой оправдано, поскольку использование методов оптимизации позволяет в ряде случаев существенно снизить затраты на техническое обслуживание и ремонт аппаратов [33].

Обоснованное решение задач оптимальной реконструкции сетевой части сложных ТСС возможно с помощью метода многоконтурной оптимизации [62], который является сейчас практически единственным методом оптимизации многоконтурных трубопроводных систем. Достоинства метода, реализованного в ППП СОСНА [63], обусловлены, с одной стороны, многократным использованием в итеративном процессе метода динамического программирования, который позволяет выявлять наиболее рациональные мероприятия по реконструкции сетевой части при минимальных затратах и эффективном учете существующего состояния, множества технических ограничений и других индивидуальных особенностей систем и их элементов. С другой стороны, проведение на каждой итерации расчетов потокораспре-деления позволяет учитывать работоспособность системы в целом и обеспечивает возможность организации рациональных режимов при ее эксплуатации.

При анализе систем применяются математико-эконо-мические методы, методы математической статистики, теории вероятностей, теории игр, исследования операций, линейного и динамического программирования. Системный анализ дает логическую основу и методологию, когда решение отыскивается в условиях неопределенности, когда соответствующая методология точных наук отсутствует и в основном приходится оперировать интуитивными соображениями.

По-видимому, более правильной является классификация, согласно которой существующие методики прогнозирования можно разделить по самому подходу к их построению: эвристическому или формализованному в виде того или иного математического аппарата (линейного и динамического программирования, теории вероятностей и математической статистики, теории игр и т. д.).