Динамических коэффициентов

54. Тетельбаум И. М. Электрическое моделирование изгибных колебаний и метод динамических жесткостей.— М. : Оборонгиз, 1949.— 31 с.

На частотах ниже первых собственных частот обеих машин величина %i2 близка к отношению динамических жесткостей амортизации машин пчС^\п\С\. Для одинаковых машин величина %12 близка к единице. На более высоких частотах для оценок Xi2, учитывающих различные формы движения машин, неравномерность распределения уровней вибраций на их корпусах и другие факторы, требуется привлечение более точных методов [129, 219, 257] . Опыт показывает, однако, что значительные корреляционные связи между машинами и механизмами имеют место лишь на низких частотах, где введение сильных упрощающих допущений, аналогичных вышеизложенным, вполне оправдано.

Матрицы d и Сг не зависят от координаты х. Физический смысл их таков: если бесконечную среду разрезать на две половины, то Ct является матрицей входных динамических жесткостей для правой половины, а — С г — аналогичной матрицей для левой половины. Поэтому их можно назвать матрицами волновых жесткостей среды или волновыми матрицами. Они являются многомерными аналогами волновых импедансов в акустике (с учетом множителя — г'ю) и играют важную роль в теории отражения волн.

Рассмотрим теперь полубесконечную среду х < 0, к которой на конце х = О присоединена нагрузка, характеризующаяся матрицей динамических жесткостей С:

Формулы (6.6), (6.7) представляют собой обобщение формулы Френеля [173] на случай сред со многими типами волн. Матрица коэффициентов отражения R выражается через волновые матрицы Ci, CT и матрицы Ei, Er, характеризующие среду, и через матрицу входных динамических жесткостей нагрузки или препятствия С. Из (6.6), в частности, видно, что отражение от конца отсутствует только в том случае, когда среда нагружена волновыми жесткостями С = С<.

Физический смысл волновых матриц С{ и Ст состоит в следующем. Если безграничную пластину, по которой распространяется одна из волн (6.25), разрезать по линии х = 0 на две половины, то отношения линейных плотностей сил и моментов, действующих на правую половину (х > 0) со стороны левой, к смещениям на линии х = 0 дают матрицу С{. Аналогичные отношения для левой половины пластины составляют матрицу — Сг. Элементы этих матриц не зависят от координаты у, так как силы и смещения имеют один и тот же множитель ехр (iky). Они носят название линейных динамических жесткостей и являются важней-12*

Функция Грина решетчатой конструкции. Применение групповых #•/ динамических жесткостей дает возможность получить простые формулы для расчета вынужденных коле- ' О баний решетчатой конструкции и, в ^ .а)

Таким -образом, групповая динамическая жесткость решетки равна сумме групповых динамических жесткостей ее составных элементов. Заметим, что дисперсионное уравнение (6.38) является условием равенства нулю групповой жесткости всей решетки.

В заключение параграфа отметим, что метод групповых динамических жесткостей применим для расчета многих машинных конструкций периодического типа. Помимо решеток, сюда относятся пластины с периодическими наборами ребер жесткости, кристаллические структуры и многие другие. Для более углубленного изучения этого вопроса мы отсылаем читателя к литературе [64, 70, 74, 76, 215, 216, 224,'227, 266, 318]. Расчет дисперсии решетки с учетом потерь в материале; дан в § 1 гл. 7, пример практического использования решеток для виброизоляции машин приведен в § 5 гл, 7.

связанных систем методом динамических] жесткостей.— В сб.: Решение задач машиноведения на ЭВМ. М., «Наука», 1975. 3, Э. Л. Айрапетов, Е. Ю. Гамаю-нова, А. А. Жирное. Вибрационный расчет планетарного механизма.— В сб.: Алгоритмы анализа и синтеза механизмов. М., «Наука», 1977.

Используя выражения (2.4) для динамических жесткостей, уравнения системы (2.12), соответствующие координатам ?ь xk, yk, zk (k = 1, 2), можно представить в виде, аналогичном (2.3.) Разрешая затем систему уравнений (2.12) относительно крутильных координат фь k = 1, 2, и их вторых производных, получим:

При равенстве частот со и coci в механической системе возникает резонанс — происходит рост амплитуд обобщенных координат. Всего возникает k резонансов. Каждый из k динамических коэффициентов имеет k областей возрастания значений щ. Если исследуются колебания системы без учета сопротивления, то наступлению резонанса соответствует обращение в нуль знаменателя в формуле для ц/ и неограниченный рост амплитуд обобщенных координат. Выше уже пояснялось, почему на самом деле рост амплитуд ограничен (неправомочность линейных уравнений и необходимость использования нелинейных уравнений, решение которых не растет неограниченно. К тому же к ограниченному росту амплитуд обобщенных координат в резонансных областях приводит и наличие сопротивлений, что обнаруживается при применении и линейной теории).

Определитель квадратной матрицы в (17.191) обращается в нуль при совпадении величины ш с любой из k собственных частот колебаний to,- (i = 1,2 ..... k) — возникает резонанс. (При наличии сопротивления имеют место максимумы в величине динамического коэффициента в окрестности значений юг/со, близких к единице). Формулы динамических коэффициентов для системы с двумя степенями свободы показаны в разделе 5 настоящего параграфа в примере 17.29. В случае систем с большим числом степеней свободы структура формул аналогична.

В примере .17.29 исследуются вынужденные колебания той же системы при моногармоническом возмущении (рис. 17.69) с построением графиков динамических коэффициентов. В этом же примере попутно обсуждаются антирезонанс и виброгасители.

На рис. 17.73 показаны графики динамических коэффициентов при трех разных значениях Р (2, 1, '/2) и в. рамках каждого из этих значений — при трех отношениях Pi/Pj (2, 1, '/а). По оси абсцисс отложены две шкалы i и ы/(сос)2.

На рис. 17.73, а, показана кривая, являющаяся одновременно графиком динамических коэффициентов щ и р,2 как функций а,\. Такой график остается неизменным в случае, если р и Р\/Рз имеют одинаковые значения. В нашем случае 2, 1, 1/2. Этот график показывает, что при наличии отмеченных равенств система имеет один резонанс, несмотря на то, что обладает двумя степенями свободы. Подробнее об этом говорится ниже. На рис. 17.73,6 показаны графики функций щ = ni(ai), (i2 = (A2(ai) при (5 = 1, PI/PZ = 2. Эти графики соответственно совпадают с графиками функций j,2 = [i2(ai) и fii — ni(ai) при р=1, Я1/Р2=1/2. На рис. 17.73, в, г, (Э,е представлены кривые (графики) динамических коэффициентов. Во всех случаях на оси абсцисс, кроме шкалы аргумента ось показана и шкала соответствующих значений аргумента а2. На рис. 17.73, ж, з показаны графики функций, входящих в формулы для динамических коэффициентов — в числители (сплошные линии) и знаменатели (штриховые линии). В общем случае формула для динамических коэффициентов для системы с k степенями свободы имеет вид (17.189). Упомянутые числители — это частные случаи функции F\n(
В таблице 17.11 помещены выражения динамических коэффициентов при всех указанных выше комбинациях значений параметров р и PI/PZ. При некоторых комбинациях значений этих параметров динамические коэффициенты щ и (л,2 совпадают, Этот вопрос обсуждается ниже в примере 17.32.

1. Вводные замечания. В ряде случаев исследование колебаний систем как с конечным, так и бесконечным числом степеней свободы описанными выше точными методами затруднительно вследствие большой математической сложности, состоящей либо в том, что дифференциальные уравнения имеют переменные коэффициенты, если, например, балка имеет неравномерное распределение масс и жесткостей вдоль оси, или в том, что порядок характеристического определителя очень высок и сложно не только решить характеристическое уравнение, но даже и составить его, т. е. раскрыть определитель. Встречаются случаи, в которых требуется быстрая, хотя бы и приближенная оценка динамических свойств системы. В перечисленных выше случаях приходится использовать или целесообразно использовать приближенные методы динамического анализа систем, состоящего в определении собственных частот колебаний, в уста** новлении форм свободных колебаний, определении динамических коэффициентов и в проверке динамической прочности. В настоящем параграфе и рассматриваются такие методы.

По данным Днепропетровского химико-технологического института (ДХТИ) значения динамических коэффициентов трения при скольжении материалов ЭТС-52 и ЭТС-52-2 по стали Х18Н9Т, в зависимости от условий эксперимента, лежат в пределах 0,1—0,3. По данным других авторов величина / при сухом трении соответствует 0,02—0,022.

Для определения динамических коэффициентов трения была использована электронно-измерительная аппаратура 17, 22, 21, позволяющая вести записи переменных величин на фотобумагу.

На рис. 28 представлены кривые, характеризующие изменение динамических коэффициентов трения fa в период приработки этих материалов (при Р = 30 кГ/см2 и v = 0,71 м!сек).

при 60—70° С в образцах остается более 50% воды. Изменений линейных размеров образцов после пропитки их маслом и водой не происходит. Опыты по определению зависимости изменения динамических коэффициентов трения образцов от удельного давления при пропитке их маслом и водой проводились по вышеописанной методике, по данным измерений построены графики (рис. 39, а). Как и следовало ожидать, образцы, пропитанные маслом до 1,2—1,6% (кривая 2), имеют меньший коэффициент трения, чем образцы, пропитанные водой также до 1,2—1,6% (кривая /).