Дифференциальным уравнением

Здесь f = f (x) представляет собой некоторое поле, например поле напряжений, которое должно быть допустимым в том смысле, что оно должно удовлетворять некоторым дифференциальным уравнениям и условиям непрерывности. Через F {f} обозначен некоторый положительно определенный функционал от г, причем интегрирование распространяется на объем V тела В. Минимум в (3.29) достигается при г = г, где г есть действительное поле, вызванное в В заданными поверхностными нагрузками на 52. Если, например, С представляет собой упругую податливость тела В, то f есть произвольное кинематически допустимое поле деформаций, a F {f} — соответствующая удельная энергия деформаций.

В тех случаях, когда связи накладываются не только на координаты, но и на скорости, и поэтому приводят к дифференциальным уравнениям, возможны два варианта в зависимости от того, можно ли проинтегрировать эти уравнения. Если дифференциальные уравнения связи могут быть проинтегрированы, то они записываются в конечном итоге в виде конечных соотношений, но эти конечные соотношения содержат также и произвольные постоянные, которые естественным образом вводятся при интегрировании дифференциальных уравнений. В тех случаях, когда дифференциальное уравнение механической связи не может быть проинтегрировано, необходимо учитывать уравнения связи в исходной форме дифференциального уравнения. В связи с этим механические дифференциальные связи подразделяются на дифференциальные интегрируемые и на дифференциальные неинтегрируемые 1).

Присоединим к этим двум дифференциальным уравнениям движения уравнение связи

называется точечное отображение, ставящее в соответствие каждой точке фазового пространства такую точку, в которую эта точка перейдет согласно дифференциальным уравнениям (4.18) спустя время т. При этом предполагается, что дифференциальные уравнения (4.18) допускают единственное решение, определенное для всех значений времени t. При различных значениях т на интервале —оо <; < т < оо точечные отображения Тт образуют однопара-метрическую группу, причем

Описанная модель экстремального регулятора характеризуется четырьмя положительными физическими параметрами Т, а, А и 6. Согласно уравнениям (4.32), управляющий автомат обладает двумя состояниями, которым соответствуют значения выхода ц — + 1 и т) = — 1. Фазовыми переменными экстремального регулятора, который представляет собою автономную динамическую систему, в соответствии с уравнениями (4.31) и (4.32), являются переменные и, ф и состояние TI = 1 или г) = — 1 управляющего автомата. Фазовое пространство состоит из двух плоскостей шр. На одной плоскости величина т) = + 1, а переменные и, ср подчиняются дифференциальным уравнениям

Полученное из принципа минимума потенциальной энергии условие Ji = U — 2A = m\n является очень эффективным для приближенных решений задач статики стержней. Дифференциальные уравнения, получающиеся при исследовании вариационных задач (например, уравнение равновесия стержня), интегрируются в конечном виде лишь в частных случаях. Поэтому возникает необходимость в разработке методов приближенного решения вариационных задач с использованием исходных функционалов [например, (4.217)], не переходя к дифференциальным уравнениям. Такие методы решения вариационных задач принято называть прямыми методами.

В ряде случаев закрепления стержня внутренние силовые факторы 1\\ и Q можно найти, не прибегая к дифференциальным уравнениям равновесия как при симметричном, так и несимметричном нагружении. Считая, что a^ao=const и D — D0=const (т. е. пренебрегая деформацией пружины в уравнениях равновесия), проецируем все показанные на рис. 5.9,6 силы и моменты на связанные оси. В результате получаем шесть алгебраических линейных уравнений равновесия с шестью неизвестными Q, и Mj (/=1, 2, 3). Эти уравнения равновесия справедливы для любого угла cto (как постоянного, так и переменного). В этом случае для определения осадки пружины ДЯ и угла взаимного поворота торцов Дгз можно (опять не прибегая к дифференциальным уравнениям) воспользоваться методом Мора [17]. Изложенный вариант решения задачи статики винтового стержня без решения дифференциальных уравнений равновесия возможен только при условии, что никаких ограничений на осевое смещение верхнего торца пружины и его

Функции fap удовлетворяют следующим дифференциальным уравнениям

(gav gpti-(1 /2) g»P gv*) ge функции Фаз удовлетворяют дифференциальным уравнениям

Основная область эффективного применения АВМ — исследование и анализ объектов, процессов, кинематики и динамики систем, поведение которых в пространстве и времени описано дифференциальными уравнениями, а точное аналитическое их решение громоздко или вообще не осуществимо. Решение линейных и нелинейных дифференциальных уравнений по своей важности оставляет далеко позади все другие возможности использования АВМ в курсе ТММ. Даже такие задачи, как извлечение корней многочленов при решении системы алгебраических уравнений, решаются проще, если их свести к эквивалентным дифференциальным уравнениям. К задачам, эффективно решаемым на АВМ, относятся, как правило, механизмы с упругими (гибкими) связями, пневматические, гидравлические и электрические механизмы.

Прежде чем перейти к анализу разностной схемы (3.33), остановимся на важных требованиях, предъявляемых к любым разностным схемам, которые соответствуют дифференциальным уравнениям, получаемым на основе записи законов сохранения энергии, массы, количества движения для произвольного объема сплошной среды. Очевидно, что для получения разностного решения, хорошо описывающего реальный процесс изменения температурного поля в количественном и качественном отношениях, целесообразно потребовать выполнения закона сохранения энергии и для разностного решения.

Выражение (4.13) представляет собой дифференциальное уравнение второго порядка относительно обобщенной координаты q и называется дифференциальным уравнением движения механизма. Оно может быть также получено из уравнения Лагранжа второго рода.

Это уравнение называется дифференциальным уравнением движения механизма в форме уравнения сил.

Выражение (10.37) является точным дифференциальным уравнением упругой линии (изогнутой оси) балки.

Учитывая медленное изменение параметров потока вдоль канала и значительную протяженность области испарения по сравнению с шириной канала 25, процесс теплообмена в канале считаем квазиодномерным. Распределение температуры Т пористого материала поперек плоского канала и температуры f паровой фазы испаряющегося теплоносителя описывается дифференциальным уравнением

Учитывая медленное изменение параметров конденсирующегося потока вдоль канала и значительную протяженность зоны конденсации по сравнению с шириной канала, процесс теплообмена считаем квазиодномерным. Давление в поперечном сечении канала постоянно, следовательно, и температура пара, равная локальной температуре насыщения ts, также постоянна в этом сечении. Распределение температуры Г пористого материала в поперечном сечении канала описывается дифференциальным уравнением

объеме увеличивается, то температура его повышается, и наоборот. Сложный процесс изменения температуры точек тела с координатами х, у, z во времени t описывается дифференциальным уравнением теплопроводности.

Получив решения (9.16), замечаем, что уравнение (9.11), являющееся развернутой формой уравнения (9.14), содержит только одну неизвестную функцию ср„(0, которую и определим из этого уравнения. Как видно, оно является нелинейным дифференциальным уравнением с переменными коэффициентами. Используем для его решения распространенный в нелинейной механике метод последовательных приближений. Применительно к динамическим задачам теории механизмов и машин этот метод был впервые разработан и эффективно применен М. 3. Коловским.

Вынужденные колебания массы т в одномассной системе описываются дифференциальным уравнением:

Последний пример отличается от ранее рассмотренных в двух отношениях: во-первых, ограничения обусловили не одно, а два равенства ((54) и (56)) одновременно; во-вторых, условие (56) накладывает ограничения не только на координаты, но и на скорости, и выражается поэтому не конечным равенством, а дифференциальным уравнением по отношению к координатам точек.

где ф —угол поворота тела вокруг оси /. Это равенство называют дифференциальным уравнением вращения тела относительно неподвижной оси. Если известны зависимость момента внешних сил относительно оси / от времени (либо от ф, либо от со) и начальные данные (ф и со в момент t = t0), то решение дифференциального уравнения (14) позволит найти ф как функцию времени. Равенство (14) по форме напоминает второй закон Ньютона для точки

Цдлувдгнре уравнение.является дифференциальным уравнением траектории точки при ее движении в центральном поле. Общее решение этого уравнения зависит от постоянной h и постоянных интегрирования Ci и С2, т. е.