Дифференциальных уравнении

В дифференциальных уравнениях (5.30)...(5.32) Т означает температуру или приращение температуры в точке равномерно нагретого тела. Если начальная температура тела равномерна и равна Та, то полное значение температуры Т равно ДГ+7Н, где АГ — приращение температуры.

Обратим теперь внимание на следующую особенность интегрального инварианта Пуанкаре — Картана. Если в дифференциальных уравнениях движения — все равно в уравнениях Лагранжа или Гамильтона — время t было выделено и входило иначе, чем координаты, так как по времени велось дифференцирование, то в контурный интеграл (85) дифференциал dt входит совершенно так же, как дифференциалы dq/. Если бы мы рассматривали время как дополнительную координату qn+1, а в качестве импульса, соответствующего этой координате, взяли гамильтониан с обратным знаком *), то контурный интеграл (85) можно было бы переписать так:

Из физических соображений очевидно, что в дифференциальных уравнениях (3.1), описывающих движение реальной физической системы, ни один из учитываемых нами факторов не может оставаться абсолютно неизменным во времени. Следовательно, правые части уравнений (3.1), вообще говоря, изменяются вместе с входяищми в них физическими параметрами. Однако если эти изменения достаточно малы, то, как показывает практика, физическая система как бы не замечает этих изменений, качественные черты ее поведения сохраняются. Поэтому, если мы хотим, чтобы уравнения (3.1) отобразили эту особенность, нужно придать им свойство грубости, а именно: при малых изменениях параметров должна оставаться неизменной качественная структура разбиения фазовой плоскости на траектории. Тем самым выделится класс «грубых» динамических систем. Грубость динамической системы можно трактовать как устойчивость структуры разбиения ее фазового пространства на траектории по отношению к малым изменениям дифференциальных уравнений (3.1).

3. Васильева А. Б., О дифференциальных уравнениях, содержащих малые параметры, Матем. сб. 31, вып. 3 (1952).

са теплоотдачи при продольном омывании пластины длиной / (см. рис. 9.2) стационарным потоком. Ввиду стационарности течения все производные по времени в дифференциальных уравнениях теплоотдачи будут равны нулю. Температуру ^к и давление рж набегающего потока примем за начало отсчета, а избыточные значения этих параметров в любой точке будем обозначать •& — Z1 — Ак и л=р — РЖ. Задача двумерная, причем ось у направлена вертикально вверх, поэтому проекция вектора g на нее будет равна — g, а на ось х — нулю. Дифференциальные уравнения конвективного теплопереноса в этом случае примут вид:

Для получения расчетных формул при численном интегрировании в настоящее время широко пользуются методом тепловых балансов и математическими операциями при замене в дифференциальных уравнениях производных функции конечными разностями.

При интегрировании любого дифференциального уравнения получаем бесчисленное множество решений, удовлетворяющих этому уравнению. Поэтому, чтобы получить из этого множества решений одно частное решение, соответствующее вполне конкретному явлению, необходимо задать некоторые дополнительные данные, не содержащиеся в исходных дифференциальных уравнениях. Это возможно, если обусловить конкретные особенности данного явления, выделяющие его из всего класса явлений. Эти дополнительные условия, которые в совокупности с исходными дифференциальными уравнениями или их решением однозначно определяют единичное явление, называются условиями однозначности. Эти условия не зависят от механизма процесса, определяемого дифференциальными уравнениями, и задаются в связи с условиями конкретной задачи. Получаемые при этом единичные явления в зависимости от конкретно заданных условий однозначности, т. е. от конкретных числовых значений, вводимых в эти условия, составляют группу подобных явлений.

заключенной в дифференциальных уравнениях теории упругости, позволяет записать уравнения связи в следующем виде:

Такая циклическая перестановка букв в дальнейшем будет обозначаться символом (xyz), (XYZ). Дифференциальные уравнения равновесия справедливы для каждого параллелепипеда, на которые разбито тело, следовательно, они выражают условия равновесия всего тела. Учитывая (5.1), приходим к выводу, что в трех дифференциальных уравнениях равновесия (5.59) содержится не девять, а шесть неизвестных функций.

расчетов в тех случаях, когда коэффициенты в подлежащих интегрированию дифференциальных уравнениях переменны — представляют собой функции того же аргумента, что и искомая функция — может быть использован так называемый метод прогонки. Ниже, в разделе 2, излагается его сущность.

Аэро- и гидродинамическое сопротивления среды (внешние сопротивления) имеют в достаточно большом диапазоне скоростей вязкий характер — они пропорциональны скорости перемещения при колебаниях. Только такие сопротивления, т. е. сопротивления, линейно зависящие от скорости, не вызывают нели-нейностей в дифференциальных уравнениях колебаний. Однако это справедливо лишь при сравнительно небольших скоростях. При больших скоростях сила сопротивления внешней среды зависит от скорости в степени выше первой, и дифференциальные уравнения колебаний получаются нелинейными.

Полученная система безразмерных дифференциальных уравнении (5-10) — (5-13), так же как-и исходная система размерных уравнений, описывает бесконечное множество конкретных процессов конвективного теплообмена. Уравнения будут справедливы для любого процесса теплоотдачи между твердым телом и несжимаемой жидкостью, удовлетворяющего данной формулировке задачи. Таким образом, записанная ранее система дифференциальных безразмерных уравнений описывает совокупность физических процессов, характеризующихся одинаковым механизмом. .

и Ф. Тогда систему (4.95) можно представить в виде эквивалентных ей дифференциальных уравнении первого порядка:

В последующих главах для составления дифференциальных уравнении колебаний будет использован преимущественно метод Лагранжа.

Глава 2. Элементы теории дифференциальных уравнении

Коэффициенты дифференциальных уравнении движения системы в этом случае будут комплексными.

Отливаемый металл, находящийся внутри кристаллизатора, представляет собой физико-химическую структуру, обладающую сложными реологическими свойствами: часть металла находится в жидком состоянии, часть - в различных фазах кристаллизации, для воспроизведения основных свойств металла, находящегося в кристаллизаторе в сложном двухфазном состоянии Т—Ж, раз-раоотана вязко-упругопластическая инерционная модель, параметры которой определяются путем идентификации характеристик движения и деформации модели с натурой. На рис. 1 приведено сечение кристаллизатора, параллельное плоскости XOY. Не показанное сечение кристаллизатора, параллельное плоскости YOZ аналогично сечению, изображенному на рис. 1. Все возможные движения и деформации модели в вибрирующем кристаллизаторе описываются нелинейной системой дифференциальных уравнений Для удобства и облегчения составления дифференциальных уравнении на рис. 1 приведены две системы координат: X'Y' и X"Y"

Однако, как-видно из формулы (2), уже при незначительном усложнении структуры автоматической линии и увеличении числа технологических агрегатов весьма трудно получить аналитическое ревение задачи в общем виде из-за резкого увеличения числа состояний АЛ, а следовательно и порядка системы дифференциальных уравнении.

Рассмотрен механизм, поведение которого описывается системой 14 обыкновенных дифференциальных уравнении 2-го порядка. Для данного порядка механизма построены многомерная таблица испытаний и область допустимых значений вектора параметров. Исследуется вопрос о влиянии критериальных ограничений на область допустимых значений.

Подставляя в уравнение Лагранжа значения кинетической и потенциальной энергии, а также выражения обобщенных сил, получим систему четырех дифференциальных уравнении:

Поясним произведенные упрощения дифференциальных уравнении энергии и движения.

Из системы дифференциальных уравнении переноса можно получить интегральные уравнения переноса пограничного слоя для граничных условий (3-2-5).