Дифференциальных операторов

8°. Выше мы рассмотрели некоторые виды дифференциальных механизмов с двумя степенями свободы. Эти дифференциалы имеют два входных звена. В технике применяются механизмы, состоящие из дифференциала, между входными звеньями которого установлена промежуточная зубчатая передача. Эта передача накладывает дополнительное условие связи, и дифференциальный механизм превращается в сложный планетарный механизм с одной степенью свободы. Такой механизм называется замкнутым дифференциальным механизмом.

Т. В копирующих манипуляторах других видов относительные движения звеньев сначала передаются на основание посредством механических передач (зубчатых дифференциальных, тросовых рычажных и др.). проходящих вдоль осей звеньев. Затем эти движения, преобразованные во вращение различных элементов (зубчатых колес, блоков и др.) с неподвижно закрепленными на основании осями, передаются на исполнительный механизм, В качестве примера остановимся на передаче относительных движений с помощью зубчатых дифференциальных механизмов.

Для дифференциальных механизмов формула Виллиса имеет вид:

На рис. 19 приведены схемы дифференциальных механизмов, в состав которых входит четыре основных звена: три центральных колеса и водило. Все центральные колеса жестко связаны с выходными валами, а водило служит лишь для установки сателлитных колес. Планетарные передачи, получаемые из дифференциалов подобного типа путем закреп-[4 ления в стойке одного из центральных колес, принято называть передачами ЗК (три центральных колеса).

Методом инверсии из дифференциального зубчатого механизма (см. рис. 3.18) получают три различных механизма (рис. 3.21). Так, остановкой звена 3 (рис. 3.21, а) или / (рис. 3.21, б) получаем два вида планетарных зубчатых механизмов с входным звеном / или h и 3 или h', остановкой звена h — водила — (рис. 3.21, в) получаем рядовой зубчатый механизм. Этот метод используется для синтеза зубчатых механизмов со ступенчато изменяющейся скоростью вращения выходного звена На рис. 3.22 изображена структурная схема механизма, составленного из одинаковых дифференциальных механизмов, показанных на рис. 3.18. Водила 3 и 3' обоих этих механизмов представляют собой одно звено, входные и выходные звенья — центральные зубчатые колеса / и /'. Механизм снабжен двумя муфтами 5 н 5', которые соединяют попарно звенья 1 и 4, 1' и 4', и двумя тормозами 6 и 6', превращающими звенья 4 и 4' в стойку. Включением муфты 5 и тормоза 6' механизм превращается в планетарный с входным звеном 3\ включением муфты 5' и тормоза б — в планетарный с выходным звеном 3, включением тормозов б и б' — в двухступенчатый планетарный механизм, а одновременным включением муфт 5 н 5' — в прямую передачу между звеньями / и /'.

Зубчатый механизм с тремя разными передаточными отношениями получают при помощи зубчатого дифференциала (рис. 14.4), путем остановки одного из его звеньев — 1,3 или h. Однако в таком механизме необходимо каждый раз изменять входные и выходные звенья. Четыре передаточных отношения, одно из которых i = 1, при неизменных выходных и входных звеньях можно получить при последовательном соединении двух дифференциальных механизмов (рис. 14.5). Первое передаточное отношение получим при остановке звена 5 и соединении звеньев / и 3, второе — при остановке звена 3 и соединении звеньев 6 и 5, третье — при остановке колес 3 и 5 и четвертое — при прямой передаче от звена / к 6-му звену.

Другие виды плоских дифференциальных механизмов изображены на рис. 7.8, где каждая передача (а, б, в) имеет по четыре колеса, причем сателлит состоит из двух колес 2 и 2', жестко связанных между собой и поэтому имеющих одну угловую скорость.

5°. Выше мы рассмотрели некоторые виды дифференциальных механизмов с двумя степенями свободы. Эти дифференциалы имеют два входных звена. В технике применяются механизмы, состоящие из дифференциала, между входными звеньями которого установлена промежуточная зубчатая передача. Эта передача накладывает дополнительное условие связи, и дифференциальный механизм превращается в сложный планетарный механизм с ОДНОЙ СТеПбНЬю сЁободы. Такой механизм называется замкнутым дифференциальным механизмом.

2°. В копирующих манипуляторах других видов относительные движения звеньев сначала передаются на основание посредством механических передач (зубчатых дифференциальных, тросовых рычажных и др.), проходящих вдоль осей звеньев. Затем эти движения, преобразованные во вращение различных элементов (зубчатых колес, блоков и др.) с неподвижно закрепленными на основании осями, передаются на исполнительный механизм. В качестве примера остановимся на передаче относительных движений с помощью зубчатых дифференциальных механизмов.

4". В некоторых случаях можно встретить применение таких дифференциальных механизмов, у которых два из трех звеньев с неподвижными осями соединены между собой дополнительной

Знак у передаточного отношения рядовой зубчатой передачи, получающейся в обращенном движении, зависит от направления вращения зубчатых колес / и 3. У различных модификаций пла-нетарно-дифференциальных механизмов (рис. 5.5) знак может быть положительным (iJ3 > 0) или отрицательным (г?3 < 0). В механизмах

дифференциальных операторов разностными, интегралов - ко-

дят значения сеточной функции Г/ и некоторые добавочные члены, •Стремящиеся к нулю при измельчении сетки (6?, у>п, «(,, xj). Эти добавочные члены называют погрешностями аппроксимации соответствующих дифференциальных операторов. Погрешность аппроксимации уравнения является в этом случае алгебраической суммой погрешностей аппроксимации отдельных операторов и также стремится к нулю при Дт ->- О, h —>• 0. Возможны и другие пути построения разностных схем, некоторые из которых будут рассмотрены ниже. Если разностная схема уже построена каким-либо путем, то проверить наличие аппроксимации и выяснить ее порядок можно, подставив в разностную схему сеточную функцию точного решения Т'п и выполнив разложения в ряд Тейлора около точки (.г„, т,-), для которой записано соответствующее разностное уравнение.

В связи с наличием в нестационарном уравнении теплопроводности двух дифференциальных операторов — по временной и пространственной переменным -- различают два вида схем: явные и неявные. Рассмотрим особенности этих схем на примере решения одномерной нестационарной задачи (3.1) — (3.3) на равномерных пространственной и временной сетках (см. рис. 3.1).

Для описания влияния окружающей среды и эффектов старения в данном разделе мы использовали только интегралы наследственного типа. Это объясняется тем, что применительно к инженерным задачам такой подход обычно представляется более удобным, чем использование дифференциальных операторов. Однако если свойства материала могут быть описаны дифференциальными уравнениями невысокого порядка (что не имеет места для большинства полимеров), то в некоторых приложениях может оказаться проще этот второй подход (см. работу [64]).

Здесь использованы обозначения дифференциальных операторов, приведенные в выражениях (П.З).

Дополняя полученную систему уравнений (8.19) разностными аналогами двух граничных условий на левом и двух на правом краях оболочки в соответствии с выражениями (8.5), получаем полную систему (N -\- 2) нелинейных уравнений с зависящей от решения правой частью и с (N + 2) неизвестными. При этом порядок аппроксимации дифференциальных операторов разностными понижается с О (t2) на равномерной сетке внутри области до О (t) на ее границах. Однако этого можно'избежать, используя на краях оболочки или более мелкую сетку, или более точные по сравнению с (8.18) разностные схемы.

Как и (1.1) при постановке основной задачи, уравнение (1.25) в сопряженной задаче для каждого конкретного случая должно быть дополнено соответствующими краевыми условиями, при этом необходимо требовать выполнения соотношения (1.26) для дифференциальных операторов L и L+ с учетом таких условий к основному и сопряженному уравнениям. Иными словами, гранич-

Как видим, операторы 9? и 2*+ [см. (2.17)] не являются самосопряженными, как в предыдущем параграфе. Докажем сопряженность дифференциальных операторов J? и .Sf+ уравнений (2.17) и (2.27) и выясним, при каких граничных условиях она имеет место. Умножая уравнение (2.17) на t+, уравнение (2.27) на t, вычитая второе из первого и интегрируя по всему объему системы, получаем:

Заметим, что в анализируемом случае теплопроводности в среде дифференциальные уравнения (2.36) для функций Грина в (г; г0) и 6+(г; г0) совпадают по виду (отмечавшаяся ранее самосопряженность дифференциальных операторов). Кроме того, совпадают по виду и граничные условия к этим уравнениям [см. (2.2) и (2.5)], и решения обоих уравнений идентичны, т. е.

Условие (3.120) известно в функциональном анализе как закон биортогональности элементов дифференциальных операторов в гильбертовом пространстве [80]. Отметим также, что в задаче для твэла с эрмитовыми операторами L и Z+, собственные функции которых идентичны [см. (3.103)], общее условие биортогональности (3.120) превращается в обычное условие ортогональности функций фА(г) и

Зависимость между компонентами тензоров напряжений и деформаций, например, для изотропного трехмерного вязкоупругого тела можно представить в виде линейных дифференциальных операторов