Дифференциальные операторы

ную ось вращения. Эта группа включает механизмы трех типов: планетарные (рис. 3.18), дифференциальные (рис. 3.19) и замкнутые дифференциальные механизмы (рис. 3.20).

Замкнутые дифференциальные механизмы обычно имеют более высокий к. II. д., что объясняется возможностью разделения передаваемой мощности на два параллельных потока и позволяет реализовать значительно большие крутящие моменты на выходе при малых габаритах привода. При этом надо следить, чтобы потоки мощности не были встречными, что может вызвать циркуляцию ее и потери. Такие передачи используются, как правило, в силовых приводах.

Волновые передачи, подобно планетарным, могут быть использованы не только как редукторы или мультипликаторы, но и как дифференциальные механизмы. Их целесообразно применять во всех механизмах, где требуются большие передаточные числа, и в устройствах, где требуется высокая кинематическая точность и герметичность (например, для передачи движения через герметическую стенку, в химической, космической, атомной и других отраслях техники).

Большое распространение получили дифференциальные механизмы с коническими зубчатыми колесами, у которых числа зубьев зубчатых колес / и 3 равны (рис. 19.7). Соотношение скоростей звеньев в этих механизмах определяется выражением (19.12), а знак пере-

Планетарные зубчатые механизмы представляют собой дифференциальные механизмы с остановленным центральным зубчатым колесом. Для их кинематического анализа можно воспользоваться

19.5. Замкнутые дифференциальные механизмы

19.5. Замкнутые дифференциальные механизмы 237

передачи вращат. движения между валами и изменения частоты вращения либо направления, характера движения. Состоит из зубчатых колёс либо из зубчатого колеса и рейки, червяка и червячного колеса. Простейшая одноступенчатая З.п. имеет 2 зубчатых колеса - ведущее и ведомое. Многоступенчатая З.п. образуется последоват. соединением неск. одноступенчатых. По виду зубьев различают З.п. прямозубые, косозубые (винтовые) и шевронные (комбинированные); по расположению осей вращения: цилиндрич. передача (с параллельными осями), конич. и винтовая (с перекрещивающимися), ги-перболоидная и гипоидная (со скрещивающимися). Кроме того, З.п. выполняются с внешним и внутренним зацеплением. З.п. могут быть встроены в механизм, прибор, машину или выполнены в виде самостоят, агрегата - редуктора. К З.п. относятся коробки скоростей, планетарные передачи, дифференциальные механизмы и др. З.п. с гибким зубчатым колесом наз. волновой передачей. З.п.- наиболее рациональный вид пе-

Планетарные механизмы подразделяются на планетарные редукторы и мультипликаторы, которые обладают одной степенью свободы и обязательно имеют опорное звено, и зубчатые дифференциальные механизмы, число степеней свободы которых два и более (W^2) и которые опорного звена обычно не имеют. Типичным примером планетарного редуктора является соосный механизм с цилиндрическими колесами, схема которого изображена на рис. 15.7, а. Этот механизм состоит из центрального колеса / и водила Н, вращающихся вокруг неподвижных осей, трех сателлитов, составленных из двух жестко связанных в единый блок колес 2 и 3, опорного колеса 4 и стойки. При вращении колеса / сателлиты 2-3 поворачиваются как рычаг относительно мгновенного центра вращения В (колесо 4 неподвижно) и заставляют вращаться водило Н. При этом планетарные колеса (сателлиты) совершают сложное движение: вращаются вокруг собственной оси (относительно водила) с со2 и вместе с води-лом обкатываются с со,, вокруг оси ОО (переносное движение). Число степеней свободы этого механизма равно единице. Поэтому редуктор имеет постоянное передаточное отношение. Обычно у реального механизма имеется несколько симметрично расположенных сателлитов k (колеса 2, 3 на рис. 15.7, а, в). Их вводят с целью уменьшения габаритов механизма, снижения усилия в зацеплении, разгрузки подшипников центральных колес, улучшения уравнове-шив'ания водила, хотя механизм в этом случае имеет избыточные связи (q>Q), т.е. является статически неопределимым. При кинематических расчетах учитывается один сателлит, так как остальные являются пассивными в кинематическом отношении.

Замкнутые дифференциальные механизмы обычно имеют более высокий к. п. д., что объясняется возможностью разделения передаваемой мощности на два параллельных потока и позволяет реализовать значительно большие крутящие моменты на выходе при малых габаритах привода. При этом надо следить, чтобы потоки мощности не были встречными, что может вызвать циркуляцию ее и потери. Такие передачи используются, как правило, в силовых приводах.

Простые планетарные и дифференциальные механизмы. Дифференциальный зубчатый механизм позволяет осуществить сложение скоростей, идущих от различных ис- а) точников. Планетарный зубчатый механизм уменьшает величины угловой скорости на выходном валу, т. е. является редуктором. Планетарный редуктор отличается от простого зубчатого с неподвижными осями тем, что в состав его входит зубчатое колесо (одно или несколько), вращающееся вокруг подвижной оси водила, совершающего переносное движение.

Рассмотрим третье и четвертое из уравнения (4.1.12'), записав их через дифференциальные операторы

где Dm — частные дифференциальные операторы вида

— линейные частные дифференциальные операторы, зависящие от параметров и.&, которые могут быть действительными или комплексными. Перемножая операторы, образующие (164), и сравнивая полученное уравнение с (160), найдем

Введенные линейные дифференциальные операторы имеют вид

где Ьц — линейные дифференциальные операторы; и,- = и, v, w, mi, mz', tyi, ч>а — углы сдвига; mit m2 — моменты, распределенные по объему.

где Lt — сравнительно громоздкие линейные дифференциальные операторы, содержащие частные производные по координатам до четвертого порядка включительно.

Общая форма получающейся таким образом связанной системы двух дифференциальных уравнений в частных производных аналогична уравнениям (50) и (51), выведенных в гл., 4 для слоистых анизотропных пластин. Естественно, что дифференциальные операторы, входящие в эту систему, имеют более сложную структуру, чем операторы (52).

К — безразмерный коэффициент устойчивости; L — длина оболочки; LI — дифференциальные операторы в частных производных (г =

Уравнения совместности деформаций (9.27), записанные в напряжениях, при условии (11.33) содержат в левых частях однородные дифференциальные операторы второго порядка, функции же (11.32) имеют либо нулевую, либо первую степень1) и, таким образом, вторые производные от них равны нулю. Вследствие сказанного уравнения совместности деформаций функциями (1 1 .32) удовлетворяются.

Уравнения совместности деформаций (9.22) и (9.26), выраженные в напряжениях, при условии (12.23) также удовлетворяются, так как они в левых частях содержат однородные дифференциальные операторы второго порядка, функции же (12.22) либо нулевой, либо первой степени и, таким образом, вторые производные от них равны нулю.

Обратное, утверждение справедливо не всегда, а именно, не всякое дифференциальное уравнение или систему дифференциальных уравнений можно рассматривать как уравнения Эйлера в вариационной задаче для некоторого функционала. Для того, чтобы имелась такая возможность, дифференциальные операторы, входящие в дифференциальные уравнения, должны удовлетворять определенным требованиям. Эти требования сводятся к следующему. Дифференциальные операторы А и А*, входящие в различные группы уравнений (каждая из которых составлена относительно своих тензоров и функций), должны быть формально сопряженными, т. е. такими, что