Дифференциации технологического

Решения диференциального уравнения Бесселя

Гипергеометрические ряды Функции Лежандра Ряд Решения диференциального уравнения „оЛежандра F (а 6 ч х) 14- v 4- м„ ->••

Из диференциального уравнения-v-=— 2 о/следует,

Порядок диференциального уравнения есть число, равное порядку наивысшей производной функции, входящей в уравнение. Если в уравнение входит только первая из производных неизвестной функции, оно называется уравнением 1-го порядка.

представляет уравнение в частных производных, служащее для определения множителей JJL. Достаточно найти частное решение (т. е. один из множителей) этого уравнения, чтобы привести вопрос о разыскании общего интеграла исходного диференциального уравнения, как указывалось выше, к квадратурам. Если известен общий интеграл F (х, у) = С рассматриваемого уравнения, то интегрирую-

Приравнивая нулю первый множитель dpjdx — О, получим интеграл р = С и, исключая параметр р из этого соотношения и исходного диференциального уравнения, найдём общий интеграл уравнения Клеро у = Сх -г -)-ф (С), который представляет семейство прямых. Приравнивая нулю второй множитель <У(р) + х = 0 и исключая параметр /) из этого соотношения и исходного диференциального уравнения, получим особый интеграл уравнения Клеро, представляющий с геометрической точки зрения огибающую семейства прямых, представленного общим интегралом.

Функция у (х. С,,..., С„), тождественно удовлетворяющая диференциальному уравнению п-го порядка i~(x, у, у',.. ., >(">) = О и зависящая от п произвольных постоянных С],..., Сп, называется общим решением уравнения. Соотношение Ф (х, у, С},..., Сп) = О, определяющее общее решение уравнения как неявную функцию независимой переменной, называется общим интегралом уравнения. Произвольные постоянные могут быть определены, если заданы начальные условия, т. е. при некотором значении лг0 независимой переменной х заданы значения функции _у0 и её производныхУ,.. .,у'о(п~!)• Если соблюдаются условия теоремы о существовании и единственности решения (см. стр. 226), то общий интеграл уравнения даёт полное решение задачи об интегрировании диференциального уравнения n-го порядка. В противном случае могут существовать так называемые особые интегралы, которые нельзя получить из общего интеграла при частных значениях произвольных постоянных.

Интегрировать диференциальное уравнение /z-го порядка можно последовательно, путём составления так называемых промежуточных интегралов, т. е. соотношений, вытекающих из данного диференциального уравнения и содержащих производные, наивысший порядок которых ниже порядка данного уравнения. Если составляется общий интеграл, то при каждом последовательном понижении

порядка промежуточных интегралов, достигаемого в результате применения операции интегрирования, в получающиеся при этом новые соотношения вводится новая произвольная постоянная. Первый из промежуточных интегралов, т. е. соотношение, содержащее одну произвольную постоянную, производные искомой функции до (п — 1)-го Порядка включительно и независимую переменную, называется первым интегралом данного диференциального уравнения и-го порядка. Если известны п различных, т. е. независимых, первых интегралов диференциального уравнения, то известен и общий интеграл уравнения, так как эти п первых интегралов можно рассматривать как параметрическое представление с помощью параметров у', у", . . , у(л - 1), общего интеграла исходного уравнения. Исключение производных у'... у(п—\) из найденных п первых интегралов приводит к выражению общего интеграла в обычной форме.

решение исходного диференциального уравнения.

/Ь«Г ^' дадУт параметрическое представление общего интеграла исходного диференциального уравнения.

По-видимому, наибольшая научная значимость и новизна данной книги в систематизированном, методически завершенном изложении основных закономерностей построения многопозиционных автоматов и автоматических линий (автор, как уже отмечено, называет их «законами агрегатирования рабочих машин»). Шаумян наглядно показал, что технологическая основа автоматостроения — использование принципа дифференциации технологического процесса (дробление его на составные части, выполняемые в различных позициях) и концентрации опе-

Научно-технический совет ЭНИМСа признал книгу Шаумяна непригодной для практического и теоретического использования. Особенно серьезной критике подвергся раздел книги, посвященный «законам агрегатирования», т. е. закономерностям построения многопозиционных машин и автоматических линий. Указывалось, что принятые Шаумяном допущения о равномерной дифференциации технологического процесса по позициям и пропорциональном росте внецикловых потерь с увеличением числа позиций неверны. В реальных линиях время рабочих ходов определяется лимитирующей позицией; каждую операцию нельзя дробить на произвольное число частей. Вариантность числа позиций всегда ограничена

2. Степень дифференциации технологического процесса. Оценивается числом позиций q, на которых выполняется данный процесс. Минимальное число рабочих позиций, на которых может быть обработан вал с учетом возможностей автоматического оборудования, дтщ = 4 (см. п. 8.2). Максимальное число позиций gmax определяется, например, пределом деления длины чистовой обработки шеек вала (/—6 на рис. 1.5) на две позиции (после шлифования не будет выдержан единый размер). Отсюда ориентировочно gmax = 15 (две позиции на фрезерование и зацентровку торцов, по шесть позиций — на черновое и чистовое обтачивание, одна — на прорезание канавок и снятие фасок).' Варьирование числа позиций (4 ^ q =sj 15) дает S = 12 вариантов построения линий, которые отличаются числом станков и их стоимостью, длительностью рабочего цикла и производительностью. Признаком технически возможных и целесообразных вариантов является их конкурентность, не разрешимая без специальных расчетов и обоснований. При увеличении степени дифференциации технологического процесса и числа позиций q растет производительность системы, но одновременно увеличивается и ее стоимость. Эти функциональные зависимости, как правило, нелинейны (рис. 1.6).

На рис. 1.9 приведена диаграмма зависимости относительного роста производительности ф линии при делении ее на участки (по сравнению с линией с жесткой связью) от числа станков в линии. Чем выше степень дифференциации технологического процесса (q > ?mln). тем выше производительность ф, однако эта зависимость, как и на рис. 1.6, нелинейна. Следовательно, q и пу взаимосвязаны и могут быть выбраны только комплексно. Число вариантов линии по структурному признаку зависит от ее протяженности (общего числа станков) q. При q = 4 линию можно построить по пяти вариантам, при? = 12 — по 11 вариантам (см. рис. 1.8). В среднем данный признак дает Se = 8 вариантов построения системы.

При практических, прикладных расчетах, например, при оценке ожидаемой производительности проектируемого оборудования и сравнении ее с требуемой, необходимо учитывать неравномерность дифференциации технологического процесса по позициям, ограничение числа позиций по максимуму и минимуму, неизбежные организационные простои. Тогда формула (4.10) в соответствии с выражением (4.8') принимает вид

варианте дифференциации технологического процесса на q частей; тзагр — ожидаемое значение коэффициента загрузки оборудования в конкретных условиях производства; 7 — ожидаемые значения коэффициента выхода годной продукции.

В автоматических линиях последовательного действия, разделенных на участки, длительность рабочих ходов и рабочего цикла будет зависеть от общего объема обработки, числа рабочих позиций и равномерности дифференциации технологического процесса по позициям.

Как и в многопозиционных автоматах последовательного действия, при равномерной дифференциации технологического процесса время рабочих ходов цикла (см. п. 4.2)

Для токарной обработки вала-фланца, показанного на рис. 1.5, автоматическая линия может быть спроектирована с широким варьированием числа рабочих позиций q (см. п. 1.3). Суммарная длительность несовмещенных переходов обработки вала на линии составляет t = 3,65 мин. Время холостых ходов цикла, независимо от степени дифференциации технологического процесса #х = 0,25 мин, ожидаемые внецикловые потери по инструменту и оборудованию соответственно ?Cj = 0,12 мин/шт и te = 0,02 мин/шт.

Если вести расчеты по прикладной формуле (4.20) с учетом реальной неравномерности дифференциации технологического процесса по позициям, неизбежных

/ — при равномерной дифференциации технологического процесса по позициям; 2 — при реальной неравномерной дифференциации и ограничении числа позиций