Диференциальное уравнение

Функции, удовлетворяющие тождественно, т. е. при всех значениях аргумента, данному диференциальному уравнению, называются его решениями. Задача теории диференциальных уравнений состоит в определении этих функций (отыскании решений) и в изучении их свойств.

Существование и единственность решений диференциальных уравнений 1-го порядка. Пусть уравнение 1-го порядка задано в нормальной форме dyjdx = f (x,y) и функция f(x,y) однозначна и непрерывна в некоторой области D изменения переменных х, у. Кроме того, в этой области D функция удовлетворяет условию Липшица / (х, Y) — — /(•*"• У)\<^.К\ У — у , которое выполняется при надлежащем выборе постоянной К, для любых пар точек области D с одинаковыми абсциссами и различными ординатами. В этом случае существует единственная и непрерывная функция у = ср (х~), являющаяся решением уравнения и удовлетворяющая начальному условию _у0 = <р (дг0К причём точка (хй, уй) принадлежит области D.

О существовании и единственности решений системы диференциальных уравнений. Диференциальное уравнение тг-го порядка вида

Системы линейных диференциальных уравнений. Решением линейной однородной системы

как и любой системы обыкновенных диференциальных уравнений, называется совокупность функций _Vi (х), у% (х), ...,уп (х), удовлетворяющих тождественно, т. е. при любых значениях независимой переменной х, совокупности диференциальных уравнений.

-f-[i2+ ...-f цт = п), общее решение системы диференциальных уравнений имеет вид

Преобразование Лапласа оказывается полезным при решении линейных диференциальных уравнений в обыкновенных и в частных производных, при решении интегральных уравнений Вольтерра с ядром специального вида и в других случаях.

Аналогичным образом интегрируются системы диференциальных уравнений. Например, в случае системы двух уравнений

Многие задачи математической физики сводятся к решению диференциальных уравнений при так называемых краевых, или граничных, условиях.

Краевые задачи с особыми краевыми условиями. Функции Бесселя и Лежандра, специальные полиномы Чебышева, Якоби, Эрмита, Лагерра (см. стр. 136 — 142) могут служить для построения замкнутых ортогональных систем функций, которые удовлетворяют краевым задачам диференциальных уравнений штурм-лиувиллевского типа. Коэфициенты этих уравнений, вообще говоря, таковы, что уравнения имеют на конечном интервале особые точки. Если особые точки являются концами интервала, для которого формулируется краевая задача, то обычное краевое условие (стр. 239) замещается требованием, чтобы при приближении к этим точкам собственные функция оставались конечными или становились бесконечно большими величинами не выше заданного порядка.

40. Панов Д. Ю., Справочник по численному решению диференциальных уравнений в частных производных, изд. АН СССР, Москва 1937.

— Диференциальное уравнение движения 11 —1; —Анализ 11—9

Бернулли диференциальное уравнение 1 (1-я) —222

— Диференциальное уравнение 1 (2-я) — 28 Криволинейные интегралы — см. Интегралы

и диференциальное уравнение

Диференциальное уравнение, их определяющее, имеет вид

Диференциальное уравнение асимптотических линий имеет вид

С геометрической точки зрения диферен-циальное уравнение 1-го порядка представляет соотношение, связывающее координаты х, у точек некоторой кривой (так называемой интегральной кривой) и тангенс у' угла, образуемого касательной к кривой с осью Ох. Таким образом диференциальное уравнение определяет поле касательных, т. е. ставит в соответствие каждой точке некоторой области плоскости ху направление касательной к искомой интегральной кривой, проходящей через эту точку. Уравнение у' = f (х, у) имеет бесчисленное множество решений, зависящих от начального условия, которым определяется значение функции у при некотором частном значении аргумента х, т. е. задаются координаты х0, уй точки, через которую проходит интегральная кривая.

относительно переменной х, то, диференцируя соотношение х =f(p) по у, получим диференциальное уравнение, связывающее переменные /;, у, интеграл которого записывается в виде

2. Если диференциальное уравнение имеет вид F (у, р) = 0 и может быть решено относительно у, то, диференцируя соотношение y = f(p) no JT, получим диференциальное уравнение, связывающее переменные р, х, интеграл которого записывается в виде

3. Если переменные х, р, которые входят в диференциальное уравнение F {х, р) — О, могут быть выражены с помощью параметра t, так, что при х = и it), р = v(t) имеет место тождество F[u(t), v(t)]=d, то, диференцируя соотношение х = и (t) по переменной у, получим диференциальное уравнение, связываю-

Интегрировать диференциальное уравнение /z-го порядка можно последовательно, путём составления так называемых промежуточных интегралов, т. е. соотношений, вытекающих из данного диференциального уравнения и содержащих производные, наивысший порядок которых ниже порядка данного уравнения. Если составляется общий интеграл, то при каждом последовательном понижении