Дальнейшие вычисления

Равенство (1) для функции f заведомо входит в число шести независимых, и каковы бы ни были остальные пять равенств, входящих в эту шестерку, хотя бы одно равенство для второй производной в нее не войдет — ведь среди девяти функций (7) содержатся шесть вторых производных. Наши дальнейшие рассуждения не зависят от того, для какой конкретно второй производной равенство вида (1) является зависимым — пусть, например, это d^f/dVxdVy.

Хотя в системах, которые мы сейчас рассматриваем, п может быть равно лишь 3./V, мы нигде далее в этой главе этим обстоятельством пользоваться не будем. Это позволит в конце главы сделать важное обобщение полученной ковариантной формы уравнений движения на системы с механическими связями. Имея в виду такое обобщение, мы будем считать, что п не обязательно равно 3N, а удовлетворяет неравенству n^3N, причем если п<ЗУУ, то среди 3N функций /;, ф/, аз( (t=l, ..., N) содержится по крайней мере п независимых функций. Поскольку неравенство n^3N нестрогое (равенство допускается), все дальнейшие рассуждения относятся к интересующему нас сейчас случаю перехода от декартовых к «новым» координатам для системы без механических связей.

В заключение этой главы сформулируем две основные задачи статики, решению которых для различных систем сил будут посвящены все дальнейшие рассуждения.

Остановимся на решении первой основной задачи статики для произвольной системы: сил на плоскости. Проведем все дальнейшие рассуждения на примере трех сил (для случая произвольного числа п сил они аналогичны).

Поскольку оси можно рассматривать как упрощенную (Мг = 0) разновидность вала, все дальнейшие рассуждения посвящены более общему, случаю расчета валов.

Дальнейшие рассуждения не освобождают Р. Г. Геворкяна от сомнений и не приводят к решению задачи, хотя он даже формулирует «закон сохранения вида энергии» («в явлениях, где происходит процесс преобразования энергии, существует тенденция к уменьшению мощности этого процесса до возможного миниму-

Произведение aaaz не имеет конкретного физического смысла, так как обе входящие в него величины определяют значение напряжений в исходном надрезе. У вершины трещины и коэффициент концентрации напряжений аст, и номинальное напряжение 02 могут существенно отличаться от тех же величин в исходном надрезе. Однако введение этой фиктивной величины ааО2 упрощает дальнейшие рассуждения.

На основании изложенных рассуждений и доказательств, схему .машины, представленную на черт. 18, можно заменить упрощенной схемой, представленной на черт. 21, к которой и будем относить дальнейшие рассуждения.

Из этого уравнения (25) видно, что А и Y отличаются от Lx и LV только множителями ct- и это значительно упрощает дальнейшие рассуждения и разрешение нашей задачи.

Тогда схему двигателя черт. 23 (фиг. Ь) можем заменить упрощенной схемой, представленной на черт. 24 (фиг. Ь), в которой обозначения углов оставим прежними (фиг. а, черт. 24) и к ней будем относить дальнейшие рассуждения.

То, что to0 в пределах нечувствительности является неопределенной, осложняет дальнейшие рассуждения, а потому примем, что со0 это не та угловая скорость, которая получится в действительности по окончании процесса регулирования, а та фиктивная угловая скорость, когда f=Q, т.-е. в случае абсолютно чувствительного регулятора.

При работе на втором рельсе за его ось принимают прямую, проходящую параллельно первому створу и расположенную от него на расстоянии, равном проектной ширине колеи. Саму ширину колеи измеряют в начале и конце рельсового пути, а все дальнейшие вычисления ведут по изложенному в параграфе 11 методу "четырехугольника".

и находятся в результате их решения с помощью процедуры последовательных приближений. Коэффициенты F7p (mnplijkq) уравнений (2.2.69) вычисляются по формулам (2.2.23), однако функции состояния аь а2 или а{ь), а<2й) должны соответствовать упругому или вязкому состоянию среды, скорость асд следует заменить на У<ОГ>. Свободные члены ALp (ijkq) уравнений (2.2.69) вычисляются по формулам (2.2.25), в которых следует произвести указанную замену функций состояния и скорости асд, в подынтегральных выражениях (2.2.26') необходимо заменить Г «ft на АГаР,, ис на Аис, acl} на у(0г>. Дальнейшие вычисления выполняются совершенно аналогично случаю нагрузки. В результате находим компоненты корректирующего тензора А (Тк) области возмущений // в декартовых координатах. В случае загруженной области, имеющей форму круга, для координаты z имеем:

Компоненты корректирующего тензора Д (Гк) находятся по формулам (2.2.68), однако функции /<$ (mnpt) имеют другой вид [19], так как фундаментальные функции имеют вид (2.2.47). Параметры ДЛтпрг ..... А?)тп,,г подчинены уравнениям (2.2.69) и определяются в результате их решения. Коэффициенты /%р (mnplijkq) уравнений вычисляются по формулам (2.2.23), причем функции состояния должны соответствовать упругому или вязкому состоянию среды, скорости а и асд следует соответственно заменить на & и У<ОГ>. Свободные члены ALp (ijkq) уравнений вычисляются по формулам (2.2.25) [при этом производится указанная замена функций состояния и скоростей], в подынтегральных выражениях (2.2.26') необходимо заменить Т°# на ДТ™0Р), vc — на Аус, асд на — соответственно на и(0г> и Ь. Дальнейшие вычисления выполняются в полярных координатах аналогично случаю нагрузки. В результате находим компоненты корректирующего тензора Д (Гк) области возмущений // в полярных координатах.

Корректирующий тензор Ах (Гц) имеет компоненты (2.3.55), однако функции f^ (mnpl) имеют другой вид, так как фундаментальные функции определяются формулами (2.2.47); параметры А1Лтпрг, ..., AiDmnpi находятся в результате решения уравнений (2.3.56), коэффициенты /\р (mnplijkq) и свободные члены AxLp (ijkq) которых вычисляются соответственно по формулам (2.2.23) и (2.2.25). Интегралы Fy$ имеют вид (2.2.48), интегралы A^L^ — вид (2.2.49), в их подынтегральные выражения вместо Tf^ следует подставить А!?^,. Дальнейшие вычисления проводятся аналогично приведенным ранее. В результате будут найдены компоненты корректирующего тензора Д\ (Т„), а также компоненты тензора &i(T).

кроме растяжения (сжатия) также и изгиб. Заметим, что изгибающий момент в среднем сечении стержня (рис. 5.15,6) М = ~ (е -\- WH) F. При этом возможны два случая. Если эксцентриситет е (т. е. расстояние между осью стержня и линией действия продольных сил) велик по сравнению с прогибом w0, возникающим при изгибе (е ;> да,,), то влиянием искривления оси стержня на его напряженное состояние можно пренебречь, т. е. можно принять, что М ------ еР, и все дальнейшие вычисления выполнять так же,

Полученные значения опорных реакций необходимо проверить, так как при наличии ошибки дальнейшие вычисления и построения

Дальнейшие вычисления по этой формуле в общем виде невозможны.

Очевидно, что дальнейшие вычисления производить не имеет смысла, так как значение корня нельзя определить с большей точностью, чем заданы коэфициенты уравнения. Следует принять дг = — 0,410.

и т. д. Дальнейшие вычисления дают для X значения X"' = 3,211, Х1^ = 3,230, Xv =3,233, а для X, : хг : Х3 - отношения 1,770 : — 2,230 : 1, 1,787 : — 2,238 : 1, 1,795 : — 2,243 : 1.

Последние два требования имеют целью облегчить дальнейшие вычисления. Для выполнения требований иногда приходится изменять первоначально намеченные границы области, конечно, так, чтобы область не уменьшилась, т. е. нижнюю границу несколько уменьшают, верхнюю—увеличивают. После выбора интервалов подсчитывают число п{ значений х/, попадающих в каждый интервал. Если какое-нибудь из наблюдавшихся значений точно совпадает с границей двух интервалов, то его либо присчитывают к правому (с большей верхней границей), либо прибавляют по половине к каждому из интервалов. При втором способе в некоторых интервалах окажутся дробные числа значений п, (целое с половиной); в этом случае для упрощения вычислений все числа п{ умножают на два, чтобы иметь целые числа. Так как общее число случаев тоже удвоится, а в вычисления идут отношения (эмпирические вероятности), то в результатах ничего не изменится. Схема подсчёта таблицы частот приведена в табл. 19.

Дальнейшие вычисления производятся по следующей схеме: