Девиаторном пространстве

Очевидно, что орт нормали к девиаторной плоскости равен

который в пространстве alt 02, о3 ставится в соответствие девиа-тору, лежит в девиаторной плоскости (этим определяется, название плоскости), в чем нетрудно убедиться, спроектировав S на нормаль к этой плоскости, так как эта проекция равна нулю:

направленная вдоль нормали к девиаторной плоскости, называется гидростатической осью. На этой оси лежат концы векторов, которые поставлены в соответствие всевозможным шаровым тензорам.

В системе осей alt ст.2, ст3 условиям (8.16) соответствует предельная поверхность в виде поверхности призмы, ось которой является прямой линией, равнонаклоненной к осям 0Ь а2 и о3, а поперечное сечение, расположенное в девиаторной плоскости, представляет собой правильный шестиугольник. Эта призма носит имя Кулона. Как и в случае поверхностей, изображенных на рис. 8.2 и 8.3, при комбинациях значений аг, а.2 и ст3, которым соответствуют точки, лежащие внутри поверхности (используется знак < в (8.16)), в материале в окрестности рассматриваемой точки предельного состояния не возникает. Комбинации значений 0Ь сг2 и ст3, которым отвечают точки, лежащие на предельной поверхности (используется знак равенства в (8.16)), вызывают

Рис. 8.27. Предельная поверхность в виде параболоида вращения (теория П. П. Баландина, теория Стасси и др.) как частный случай предельных поверхностей вращения; / — след поверхности на девиаторной плоскости.

Рис. 8.28. Предельная поверхность Ми-зеса (цилиндр) как частный случай предельных поверхностей вращения; / — след поверхности на девиаторной плоскости.

Рис. 8.34. Предельная поверхность в виде Рис. 8.35. Предельная поверхность враще-однополрстного гиперболоида как частный ния, отражающая характер сопротивле-случай предельных поверхностей враще- ния материала при равномерном трехос-ния (теория И. Н. Миролгобова); / — след ном растяжении и при напряженных со-повер'хности на девиаторной плоскости. стояниях, близких к нему; / — след поверхности на девиаторной плоскости.

модулем Rs или Re и углом со, или <ое, указывающим положение соответствующего вектора на девиаторной плоскости. На рис. 2.4 обе такие плоскости совмещены с плоскостью чертежа, причем цифрами /—/', 2—2', 3—3' отмечены проекции на девиаторные плоскости главных осей S1; S2, S3 и соответственно осей Еъ Ег> Е3 (по последним откладываются компонентыeit e2 и еа). Параметр cog (соответственно юе) называется углом вида соответствующего девиатора и может быть выражен через инвариант / (или Уе>)- Формулы, выражающие главные составляющие slt s2, s3 или еъ ег, е3 через Rs или Re, и угол вида можно найти в работе [56] и др. Все возможные виды девиаторов напряжений и деформаций получаются при изменении o)s и сое в пределах ± я/6 (рис. 2.4), а с переходом в следующий сектор (например, из сектора 3'—0—/ в /—0—2') картина повторяется. Поэтому граница области упругих состояний, как и граница области предельных состояний, отвечающих физическому разрушению (трещинообразованию), состоит из шести одинаковых участков дуг или прямых. Можно однако отметить, что граница области устойчивости пластического деформирования (см. 2.1) может не обладать такой симметрией, так как возникновение неустойчивости зависит не только от напряженного состояния, но и от геометрии деформирующегося тела.

Образ векторов Rs и Re в девиаторной плоскости можно распространить и на непропорциональное нагружение, и тогда выделяют два частных случая. В первом случае главные оси девиа-тора напряжений сохраняют в процессе нагружения неизменное положение, причем неизменно и положение девиаторной плоскости, но вектор в этой плоскости изменяется не только по модулю,

но и по направлению, описывая своим концом криволинейный путь деформирования. Если модуль Rs уменьшается, то происходит разгрузка, и материал возвращается (при наличии остаточных деформаций) на стадию упругого деформирования. Во втором случае путь нагружения в девиаторной плоскости остается радиальным, т. е. cos = const, но главные оси девиатора напряжений, а с ними и девиаторная плоскость в процессе нагружения поворачиваются. В общем случае происходит как изменение параметров Rs и со,, так и поворот главных осей, положение которых относительно неподвижной системы осей (рис. 2.1) характеризуется еще тремя параметрами, например, углами Эйлера.

Рис. 7.43. Механическая модель реономного подэлемента на девиаторной плоскости
Нагружение по двузвенным траекториям. Наиболее простой вид непропорционального нагружения характеризуется траекторией в виде двузвенной ломаной на плоскости девиатора деформации. Пример такого нагружения подэлемента иллюстрируется рис. 7.44; штриховой линией здесь показана траектория центра поверхности текучести — годограф вектора пластической деформации. Анализ данного вида нагружения позволяет выявить ряд особенностей поведения материалов как векторных (изменение ориентации физических векторов в девиаторном пространстве), так и скалярных (отклонение зависимостей между длинами этих векторов от аналогичных при пропорциональном нагружении).

Начальная «поверхность текучести» для структурной модели независимо от допуска на величину К в девиаторном пространстве представляет сферу с центром в начале координат. Это непосредст-

Любому девиатору (например, s^) может быть поставлен в соответствие вектор в пятимерном девиаторном пространстве —

Аналогичные соотношения существуют в девиаторном пространстве для суммарных деформаций (е^ —>• е), их упругих (rtj —>• г) и неупругих (ptj -> p) составляющих. Благодаря этому в пространстве деформаций сохраняют силу соотношения (4.2), (4.3):

Реологические свойства должны определяться в девиаторном пространстве в форме зависимости вектора р от истории изменения вектора а (?) (либо ё (t)) и температуры Т (t). При этом согласно постулату изотропии соответствующие функции не должны зависеть от выбора базиса девиаторного пространства.

в девиаторном пространстве означает, что векторы р и г коллинеарны,

Заметим, что в частном случае склерономного материала, когда реологическая функция представляется ломаной линией (см. рис. 3.4), поведение каждого подэлемента отвечает в соответствии с приведенными соотношениями теории пластического течения с поверхностью текучести Мизеса (в девиаторном пространстве напряжений — «сфера с центром в начале координат).

в настоящей главе основное внимание будет уделено процессам непропорционального нагружения, т. е. тем случаям, когда траектории напряжений и деформаций в девиаторном пространстве представляют собой некоторые криволинейные (или ломаные) годографы соответствующих векторов.

Для иллюстрации некоторых закономерностей деформирования остановимся на случае двухпараметрического нагружения, например, когда а:с, ъху — единственные ненулевые компоненты тензора напряжений сг?/. Поведение материала М в этом случае можно иллюстрировать на двумерной девиаторной плоскости; без потери общности будем считать ее плоскостью базисных векторов {g^, gs\. Координатами физических векторов на этой плоскости будут [с^, a2] для пространства напряжений и [еъ ЕЗ ] для пространства деформаций. Эти координаты определяются компонентами соответствующих девиаторов; напомним, что в девиаторном пространстве шаровой тензор не находит отражения.

склерономного варианта модели равенство е = г -f- р и ограничение 7 <: гт •= rBz (где гв = (гт) — характеристика материала) означают, что при заданном векторе пластической деформации р, определяющем положение точки О' (рис. 4.2), конец вектора ё не может выходить за пределы окружности радиуса гт с центром в этой точке. Данная окружность представляет плоское сечение поверхности текучести г — гт в пятимерном девиаторном пространстве. Характеристика материала гв определяет радиусы поверхностей текучести подэлементов в девиаторном пространстве и поэтому не совпадает с величиной предельной упругой деформации при растяжении, используемой в гл. 1. Вопрос о соотношении между ними рассмотрен в § 20.

р (t). Поведение подэлементов, у которых радиусы поверхностей текучести гт = гьг имеют другие значения, при той же программе-нагружения будет отличаться лишь количественно. Осреднение по всем подэлементам позволяет найти для каждого момента времени векторы р и г, т. е. полностью определить реакцию материала М на данное воздействие. Соответствующий анализ выявляет при этом ряд особенностей как скалярного (зависимость между длинами физических векторов в девиаторном пространстве), так и векторного (ориентация этих векторов) характера.

Рекомендуем ознакомиться:
Диэлектрич проницаемость
Диафрагмы устанавливается
Дальнейшие преобразования
Диагностическими признаками
Диагностика материалов
Диагностике состояния
Диагностики состояния
Диагностирования состояния
Диагональных элементов
Диагональю параллелограмма
Диагональ параллелограмма
Диаграммы анизотропии
Диаграммы изменения
Диаграммы направленности
Диаграммы перемещений

Меню:

Главная страница Термины