Девиатора напряжения

где si = GI — '/з (ffi + ст2 + аз) и т. д. — главные значения де-виатора напряжений, <7ь 02, Оз — главные значения тензора напряжений, a 2k — предел текучести материала при чистом сдвиге. Выражая главные значения девиатора напряжений через его инварианты, из уравнения (1) получаем, что

используется критерий текучести Мизеса или какой-либо из его вариантов, что является следствием как простоты этого критерия, так и его хорошего согласования с экспериментальными данными о поведении материалов. Интересной также является попытка придать критерию Мизеса определенный физический смысл. Например, записав левую часть уравнения (3) через-главные значения девиатора напряжений:

Установив критерий текучести, определяющий начало пластического течения, необходимо теперь обосновать надлежащую зависимость между напряжениями и деформациями, которая описывает пластическое течение. Основное предположение наиболее часто используемого закона Прандтля — Рейсса состоит в том, что скорость изменения пластических деформаций в каждый момент времени пропорциональна компонентам девиатора напряжений, т. е.

Определяющие уравнения упругопластического поведения, включая закон течения Прандтля — Рейсса, были приведены в разд. II, В, основной результат представлен зависимостью (22). Так как компоненты девиатора напряжений 5ц и октаэд-рическое касательное напряжение TO, представляющие собой функции от ац и ЕЦ, входят в эту зависимость нелинейно, уравнение (22) является нелинейным. Во избежание математических трудностей, возникающих при решении системы нелинейных уравнений, можно применить способ пошагового приложения внешних воздействий. Если на каждом шаге приращения нагрузки достаточно малы, то как нелинейные коэффициенты, содержащие s,,- и TO, так и линейно входящую величину Мт можно считать постоянными, равными соответствующим значениям в начале этого шага. Таким образом, при помощи процедуры пошагового нагружения нелинейная задача приводится к последовательности линейных задач. Регулируя допустимую величину приращения нагрузки, можно изменять величину интервала, на котором эта последовательность хорошо аппроксимирует исходную задачу.

ции упругопластического материала; /2, /з — инварианты девиатора напряжений;

si, s2, s3 — главные значения девиатора напряжений; Si, — компоненты девиатора напряжений;

Формулировки критериев разрушения анизотропных сред через инварианты тензора напряжений обусловлены, по-видимому, историческим развитием критериев текучести изотропных материалов. Предположение об изотропии (независимости от направления) означает, что формулировка условий разрушения не зависит от направления осей координат. Наиболее подходящим средством обеспечения указанной инвариантности является запись критерия разрушения в виде скалярной функции от инвариантов тензора напряжений. В опытах Бриджмена [7] было установлено, что условие текучести изотропного материала не зависит от гидростатического давления; учет этого обстоятельства позволил дополнительно упростить условие текучести, представив его лишь через компоненты девиатора напряжений.

С другой стороны, можно записать критерий Хилла, содержащий второй инвариант девиатора напряжений с измененными — по сравнению с изотропным случаем — коэффициентами:

При введении в рассмотрение третьего инварианта тензора напряжений все эти нежелательные последствия построения анизотропного критерия разрушения по аналогии с критерием разрушения изотропных сред (как это было сделано при учете только второго инварианта) в значительной мере возрастают (впрочем, этого и следовало ожидать). Определенными преимуществами обладают предложенные в различное время различными авторами критерии текучести изотропных сред, включающие второй и третий инварианты девиатора напряжений (72 и /з)- В частности, такой критерий был предложен Кулоном [13] еще в 1773 г.; критерий Кулона можно записать в виде

/1, /2. ^з ~ первый, второй и третий инварианты девиатора напряжений;

Для обоснованного выбора модели проведем анализ процесса деформирования материала в плоских волнах нагрузки, заканчивающегося откольным разрушением. Материал в плоскости откола подвергается сжатию в прямой волне нагрузки до максимального давления (область 7 на рис. 122, а), после чего разгружается до максимальной величины растягивающих напряжений в результате взаимодействия волн разгрузки 5+ и S_. Принимаем, что разрушение пластичного материала является результатом накопления повреждений в процессе пластического деформирования под действием тензора-девиатора напряжений с наложением шарового тензора растягивающих напряжений и последующего развития и слияния микротрещин в поврежденном материале.

11. Коэффициент Лоде. Если на некоторое напряженное состояние наложить дополнительно всестороннее равномерное растяжение (сжатие), то размеры всех кругов напряжений не изменяются, но вся фигура смещается вдоль оси <т вправо (влево). Для девиатора напряжения диаграмма Мора характеризуется определенным относительным расположением центров окружности и начала координат системы сгт, которая, поскольку в девиаторе нормальные компоненты напряжений обозначаются символом s, переходит в систему sr (рис. 5.31, а); сумма расстояний от центров большого и среднего кругов до начала координат равна по абсолютному значению расстоянию от центра малого круга до начала координат.

Формула (7.50) позволяет дать энергетическую интерпретацию второму инварианту девиатора напряжения. С точностью до постоянного множителя 2G второй инвариант девиатора напряжений представляет собой удельную потенциальную энергию, формоизменения.

Переходим к точке С^ Компоненты девиатора напряжения, отсчитываемые от 02:

s<»? = — 28 МПа; s<°> = siS' = 14,1 МПа; s<°> = — 44 МПа. Компоненты девиатора напряжения, отсчитываемые от O'z: s'xx = 172 МПа; s'ya = &'„ = — 186 МПа; s'xu = 282 МПа;

где S\f — компоненты девиатора напряжения в третьем звене. Учитывая, что

Главные направления девиатора напряжения и тензора напряжения совпадают.

Инварианты девиатора напряжения:

где Sjj=
где a'ij — компоненты девиатора напряжения а^-. Функция текучести F определяется в зависимости от величины Cijhi, выражающей влияние анизотропии, величины aj-/, выражающей эффект Баушингера, эквивалентной пластической деформации ЁР и температуры (параметров деформационного упрочнения):

Нормальные составляющие последнего (т. е. <зх — а, <зу — о, oz — о) будем иногда обозначать через sx, sv, sz. Главные направления девиатора напряжения Da и тензора напряжения Та совпадают, а главные значения st отличаются от о,- на величину среднего давления и определяются, очевидно, кубическим уравнением

Для одних и тех же величин (ла диаграммы Мора подобны. Очевидно, что при фиксированном ра характер напряженного состояния определен с точностью до аддитивного гидростатического давления. В этом смысле о Л0 можно говорить как о форме тензора (или девиатора) напряжения, как о характеристике «вида напряженного состояния».