Девиатора деформации

В левых частях уравнений (7.33) и (7.34) имеем компоненты девиа-тора напряжений, а в правых частях, при одинаковом во всех урав~ нениях множителе 2G, имеют место компоненты девиатора деформаций; поэтому в матричной форме уравнения (7.33) и (7.34) могут" быть записаны так:

напомним, что ст0 и Sy — среднее напряжение и компоненты девиа-тора напряжений, •& и Эц — объемная деформация и компоненты девиатора деформаций. Операторы /С* и G* определяются равенствами:

В дальнейшем мы будем обозначать компоненты девиатора деформаций через etj с верхними индексами му, ву, мп и вп, предполагая при этом, что при заметных расхождениях между условными и истинными деформациями используются последние.

При формулировке рассматриваемых закономерностей обычно вводят представления о векторах Rs и Re, построенных в неподвижной системе координат (см. рис. 2.1) на компонентах девиатора напряжений oi} и, соответственно, на компонентах девиатора деформаций е{]. Модули этих векторов равны

Данные векторы — девятимерные, но следуя работе [27 ], используют также и пятимерные векторы (так как девиаторы напряжений и пластических деформаций имеют по пять независимых компонент). Величины Rs и Re представляют собой инварианты девиаторов: Rs = Т/Л"', Re = v№. В процессе пластического деформирования оба вектора описывают в пространствах компонент девиатора напряжений и девиатора деформаций некоторые кривые, которые называются путями нагружения и деформирования. При пропорциональном нагружении, когда соотношения между компонентами девиатора напряжений сохраняют постоянство, эти кривые превращаются в лучи, выходящие из начала координат. Феноменологические закономерности пластического деформирования должны содержать зависимость между любым путем нагружения и соответствующим путем деформирования.

Отметим, что приближенная картина пластического деформирования при сложном напряженном состоянии циклически стабильного материала может быть получена с учетом деформационной анизотропии путем обобщения структурной модели (рис. 1.8). Обозначим компоненты девиатора напряжений в звене / через Si}\ в звеньях 2 и 3 — через s}f и s}/1, а компоненты полного девиатора напряжений — через s,-/ s'}'. Аналогичным образом введем компоненты девиатора деформаций: е\у , е\]] ', e\f и ец. Интенсивность напряжений в элементе трения, входящем в звено 2, составляет в процессе деформации а'2> = Cz, a при разгрузке эта интенсивность может принимать любые значения 0J2)
величины девиатора напряжений и интенсивности напряжений, а также девиатора деформаций в конце некоторого пройденного этапа звездочками. Приращения компонентов девиатора деформаций на следующем этапе нагружения представятся в виде:

Компоненты девиатора деформаций:

В выражениях для компонентов девиатора деформаций нет дополнительного слагаемого, так как разность

Сложное нагружение. Для решения задач термопластичности и ползучести при непростом нагружении крупногабаритных деталей турбин ТЭС и АЭС, содержащих конструктивные концентраторы напряжений, разработан алгоритм теории течения с анизотропным упрочнением, отличающийся тем, что обычные ограничения на размер шага в итерационном процессе значительно ослаблены. Это достигается при определенных ограничениях, накладываемых на ход зависимостей, описывающих сложный путь нагружения [19]. В расчетах принимают, что эти зависимости аппроксимируются по этапам непростого монотонного нагружения, при котором для любой точки тела главные оси напряжений могут в процессе нагружения изменять свою ориентацию произвольным образом. При этом каждая компонента девиатора деформаций De изменяется по линейной зависимости •от одного параметра, но на коэффициенты этих зависимостей ограничений не накладывается. Каждая компонента девиатора Д, изменяется независимо от другой и, следовательно, их отношения изменяются без каких-либо специальных ограничений. При монотонном нагружении в отличие от простого предшествующий этап нагружения не определяет направление движения на последующем этапе. Постулированное для монотонного нагружения линейное движение изображающей точки в пространстве De не предопределяет линейного движения в пространстве девиаторов напряжений Da. Характер движений этой точки в пространстве Da определен соответствующими аналитическими выражениями.

где J'2 - второй инвариант девиатора деформаций, /{ - первый инвариант тетора деформаций, ?и - предельная деформация из опытов на осевое «житие.

Инварианты девиатора деформации легко могут быть получены по общему правилу, показанному на примере тензора напряжений (формулы (5.40*)), если ввести обозначения

Равенство нулю первого инварианта девиатора деформации свидетельствует о том, что ему соответствует деформация изменения объема, равная нулю. Главные значения эъ эа и э3 находятся из кубического уравнения

Главные значения эь эа и э3 соответственно отличаются от главных значений еь е2 и е3 на величину е0. Главные направления девиатора деформации De и тензора деформации Те совпадают.

Аналогично, лишь компонентами девиатора деформации определяются и сдвиги между любыми двумя ортогональными направлениями, проходящими через рассматриваемую точку деформированного тела.

В главе VI было показано, что первый инвариант тензора-деформации равен относительному изменению объема тела в окрестности рассматриваемой точки тела. Так как у девиатора деформации первый инвариант равен нулю, его компоненты характеризуют изменение лишь формы элемента (без изменения его объема). Та доля полной величины компонентов напряжений, которая входит в шаровой тензор напряжения, приводит к изменению лишь объема элемента, без изменения его формы. Вследствие же воздействия на элемент остальной части полной величины компонентов напряжений, т. е. части, входящей в девиатор напряжения, происходит изменение лишь формы элемента, без изменения его объема.

Формула (7.51)2 позволяет дать энергетическую интерпретацию второму инварианту девиатора деформации. С точностью до постоянного множителя 1/2G второй инвариант девиатора деформации представляет собой удельную потенциальную энергию формоизменения.

— оператора реологического уравнения 513 Изучение тела феноменологическое 494 Инвариант девиатора деформации второй

Компоненты девиатора деформации 465, 504, 505, 513

Заданная компонентами е , е , ]• деформация рассматривается состоящей из двух: шарового тензора деформации (относительное изменение объема) и девиатора деформации (чистый сдвиг).

4. Плоская деформация (в плоскости ху). 0, 02 и et, ег Главные напряжения и деформации в плоскости ху Заданная компонентами 8 Е , V деформация рассматривается состоящей из двух: шарового тензора деформации (относительное изменение объема) и девиатора деформации (чистый сдвиг). Компоненты напряжений ау = ЗКг 4- 2G (е - Е); Первое слагаемое в формулах для о и а соответствует объемной деформации, второе — чистому сдвигу Компоненты деформаций

Нагружение по двузвенным траекториям. Наиболее простой вид непропорционального нагружения характеризуется траекторией в виде двузвенной ломаной на плоскости девиатора деформации. Пример такого нагружения подэлемента иллюстрируется рис. 7.44; штриховой линией здесь показана траектория центра поверхности текучести — годограф вектора пластической деформации. Анализ данного вида нагружения позволяет выявить ряд особенностей поведения материалов как векторных (изменение ориентации физических векторов в девиаторном пространстве), так и скалярных (отклонение зависимостей между длинами этих векторов от аналогичных при пропорциональном нагружении).