Декартовы координаты

В дальнейшем углы поворота 0; будут считаться малыми. В пространстве проектов с прямоугольными декартовыми координатами 6,-, i=l, 2, 3, неотрицательный характер углов

Приступим теперь к выводу уравнений Лагранжа. Если «старая» система отсчета с декартовыми координатами х, у, г инер-

выражающие декартовы координаты материальных точек через обобщенные координаты, не зависят явно от времени, если все механические связи склерономны, и зависят явно от времени, если среди механических связей системы имеются реономные. Имея в виду этот общий случай, представим зависимости между декартовыми координатами точек и обобщенными координатами в виде

Пусть материальная система состоит из 'п точек, а декартовыми координатами 1-й точки будут Xi, yit zt (i = 1, 2,...,п). Если на материальную систему будет наложена одна связь, то в общем случае аналитически это можно записать в виде*)

Рассматриваемая система стационарная. За обобщенные координаты примем q\ *= в, qi «- ф. Тогда декартовыми координатами, определяющими положение маятника, будут . ,

Очевидно, что новые координаты 9з являются декартовыми координатами точки.

В простейшем случае фазовая поверхность представляет собою обычную плоскость с декартовыми координатами х, у, а функции Р (х, у) и Q (х, у) являются аналитическими на всей плоскости. Основная задача исследования динамической системы состоит в том, чтобы выяснить качественную картину разбиения фазовой плоскости на траектории

получаемые при этом выражения значительно усложняются. Пусть, например, трехмерное фазовое пространство Ф с декартовыми координатами х, у, г разбивается плоскостью г — 0 на две области, в каждой из которых уравнения динамики

.- *) Обозначение А (1, 2, 3) означает точку А с декартовыми координатами соответственно 1, 2 и 3. .•---.'...

Преобразование координат. Формулы, связывающие координаты точки в одной системе с ее координатами в другой, называются преобразованием координат. Приведем здесь формулы преобразования между цилиндрическими, сферическими и декартовыми координатами, которые непосредственно могут быть получены из рассмотрения рис. 4 и 5.

Проекции вектора в декартовой системе координат. Пусть некоторая точка О принята за начало отсчета. Возьмем (прямоугольную) декартову систему координат, начало которой совпадает с точкой О. Положение любой точки можно охарактеризовать либо ее радиусом-вектором г, либо тремя числами (х, у, z), являющимися декартовыми координатами этой точки. Установим связь между г и числами х, у, z. Для этого полезно ввести единичные безразмерные векторы, направленные в положительном направлении значений осей X, Y, Z и обозначаемые соответственно как \х, \у, \z. Принимая во вни-

Декартовы координаты текущей точки В, выражают через полярные координаты:

Для того чтобы в удобной форме получить эти уравнения, представим себе, что мы выбрали некоторую произвольную систему координат, т. е. выбрали три независимых числа таких, что они однозначно определяют положение точки в пространстве. В этих координатах положения ./V точек определяются 3N числами — значениями координат всех точек. Сохраняя обозначения KI, yt, z( для декартоЕых координат, введем обозначения ql, qz, ..., qn, где n = 3N, для новых координат (цилиндрических, сферических или каких-либо иных) и будем условно называть декартовы координаты «старыми», а координаты qlf ..., ^„ — «новыми». Тогда в силу того, что новые координаты полностью определяют положение всех точек системы, декартовы координаты точек являются функциями новых координат и, быть может, времени:

Замечание 1. Если в качестве «новых» координат взять декартовы координаты, т. е. положить

2. Найти обобщенные силы так, как это было описано в предыдущем параграфе. Если исходные силы FI были функциями координат точек системы или их скоростей, то при вычислении обобщенных сил нужно выразить декартовы координаты точек и их производные через «новые» координаты qt и их производные с помощью формул (8) и (11).

Если движение происходит в потенциальном поле, надо не вычислять обобщенные силы, а составить выражение для потенциальной энергии системы, и затем, используя формулы (8), подставить в него декартовы координаты точек как функции «новых» координат. После этого надо найти кинетическую энергию так, как это было указано выше, и, снова Еыразив декартовы координаты и их производные через «новые» координаты, выписать лагранжиан, т. е. разность кинетической и потенциальной энергий. Найденный таким образом лагранжиан подставляется в уравнения (29).

Коль скоро выбраны координаты q, все декартовы координаты точек выражаются через эти координаты и, быть может, время. Поэтому радиус-вектор любой точки системы также является функцией координат q и времени,

Обратимся к рис. IV.3, б. В этом случае рассматривается плоское движение одной материальной точки. При отсутствии связей нужно было бы задать две ее координаты, например декартовы координаты хну. При наличии связи — в данном случае ею служит парабола у = ах2 — достаточно знать только одну координату точки х, потому что координата у сразу определяется из уравнения параболы. Положение точки в этом случае можно определить каким-либо иным способом, например договориться о начале и направлении отсчета дуг вдоль параболы, и тогда положение точки на параболе будет полностью задано одним числом — длиной дуги. Совершенно так же обстоит

при рассмотрении голономных систем, движение которых стеснено механическими связями, возможен самый разнообразный выбор обобщенных координат. Так, в примере, представленном на рис. IV. 3, б, обобщенной координатой (как уже было указано) может служить либо координата у точки, либо ее координата х, либо дуга вдоль параболы (отсчитанная с учетом знака от какой-либо начальной точки, например от начала координат), либо угол, образованный лучом, проведенным из начала координат к материальной точке, и осью абсцисс, и т. д. Для примера, представленного на рис. IV.5, различный выбор возможных систем обобщенных координат определяется тем, каким образом фиксируется, во-первых, положение одной точки и, во-вторых, положение второй точки относительно первой. На рис. IV.9 приведены примеры различных способов введения обобщенных координат. На рис. IV.9, а в качестве обобщенных координат выбраны декартовы координаты xt и г/х первой точки и угол if>, образованный прямой, соединяющей две точки системы, и горизонталью (<7i = *i> qz = y-L, Я-л~^}\ на рис. IV.9, б обобщенными координатами служат полярные координаты первой точки и угол для определения положения второй точки (<7i = ''i> <72~=ф> Уз — ^)'* на рис. IV.9, в —декартовы координаты второй точки и угол, образованный прямой, соединяющей две точки системы, с вертикалью, проведенной через вторую точку (qi = x^ Цч, = у^ fo^9)-Разумеется, в этом примере возможен и иной выбор обобщенных координат.

в плоскости и от его положения зависит только упругая сила пружины, то пружина лишь предопределяет силовое взаимодействие между грузиком и маятником, т. е. характер возникающих в системе потенциальных сил, и не накладывает каких-либо ограничений на движение системы. Поэтому в данном случае система имеет три степени свободы, и соответственно обобщенными координатами могут быть величина а или xt — ею фиксируется положение маятника —и какие-либо две величины, например декартовы координаты, фиксирующие положение грузика. Иначе обстоит дело, если пружина может растягиваться лишь вдоль вертикали, т. е. если грузик вынужден всегда находиться на одной вертикали с маятником (например, движется по вертикальной направляющей, закрепленной на маятнике). В этом случае система имеет две степени свободы и обобщенными координатами могут служить, например, угол а и расстояние l = xz~xl от маятника до грузика, т. е. длина пружины.

По самому определению понятия «обобщенная координата» ясно, что декартовы координаты всех точек системы однозначно определяются, коль скоро заданы обобщенные координаты, несмотря на то, что число обобщенных координат может быть значительно меньше утроенного числа материальных точек. Более того, число материальных точек может быть бесконечным, например, если система содержит тела, а число обобщенных координат конечно и даже мало. Но в любом случае декартовы координаты полностью определяются через обобщенные, и при этом функции,

выражающие декартовы координаты материальных точек через обобщенные координаты, не зависят явно от времени, если все механические связи склерономны, и зависят явно от времени, если среди механических связей системы имеются реономные. Имея в виду этот общий случай, представим зависимости между декартовыми координатами точек и обобщенными координатами в виде