Декартовых координатах

При параллельном переносе осей декартовых координат (рис. 3.42) проекции вектора /„ связывающего точки П и С на каком-либо звене, остаются постоянными:

Введем прямоугольную декартову систему координат и спроектируем уравнения (1) на оси этой системы; тогда система дифференциальных уравнений, определяющих изменение декартовых координат точек во времени, представится в виде

то преобразование (8) будет тождественным преобразованием декартовых координат в себя и, как легко видеть, обобщенные силы в силу формул (23) будут совпадать с проекциями сил на оси:

Замечание 4. Рассмотрим теперь случай, когда все силы потенциальны. Это означает существование такой функции П от декартовых координат всех точек системы и, быть может, /, что

ее, часто оказывается удобным вычислить сначала кинетическую энергию системы в декартовых координатах, а затем перейти от декартовых координат и их производных к «новым» координатам, используя уравнения преобразования (8). При этом дифференцирование осуществляется по формулам (11), т. е. учитывается зависимость и от явно входящего времени.

В заключение этого параграфа сделаем следующее замечание. При переходе от какой-либо системы отсчета, например от декартовых координат, введенных в некоторой «геометрической твердой среде» (см. гл. I), к другой системе координат, выбранной в этой же «среде» (либо в любой иной «геометрической твердой среде», движущейся относительно исходной), всегда можно выписать конкретные формулы преобразования вида (9). Обратное утверждение не верно: в нестационарном случае можно указать преобразования (9), которые не удается трактовать как переход к некоторой новой системе отсчета, одной и той же для всех точек системы 1).

Вернемся теперь к случаю, когда задано г связей, т. е. задано г соотношений вида (57). Если якобиан этих функций отличен от нуля (а далее это всегда предполагается), то условия (57) могут быть использованы для того, чтобы выразить г из декартовых координат точек через остальные. Поэтому для того, чтобы задать положение N точек, нужно знать не 3Af, а ЗЛ/ — г координат; остальные г координат найдутся из соотношений (57). Для того чтобы определить положение системы в этом случае, разумеется, не обязательно использовать ЗЛ^ — г декартовых координат — как в приведенных примерах, так и в общем случае можно подобрать иные независимые величины, определяющие положение всех точек системы.

Рассмотрим систему декартовых координат х, у, z и предположим, что моменты инерции тела относительно этих осей заданы. Пусть, далее, задана ось /, полностью ориентированная относительно осей х, у, z (рис. V.3). Говоря, что ось полностью ориентирована относительно системы координат, мы утверждаем тем самым, что задан ее орт е, т.е. заданы направляющие косинусы. Обозначим их (именно направляющие косинусы, а не углы!) через а, Р и у соответственно. Требуется по заданным моментам инерции относительно осей х, у, г и направляющим косинусам а, р, v определить моменты инерции относительно оси /.

Момент инерции тела относительно некоторой оси / определяется только тем, как распределены массы тела относительно этой оси, и, разумеется, совершенно не зависит от того, каким образом выбрана система координат, по отношению к которой моменты инерции известны. При изменении системы координат изменяется шестерка указанных чисел — характеристик этой системы, но изменяется и ориентация рассматриваемой оси относительно системы, т. е. направляющие косинусы а, В и у; общее же выражение, позволяющее определить момент инерции тела через характеристики избранной системы и направляющие косинусы, остается одним и тем же и задается формулой (25). Можно показать, что при повороте системы декартовых координат х, у, г относительно рассматриваемой точки О моменты инерции Jx, JУ и Jz и центробежные моменты инерции изменяются в соответствии с формулами, определяющими симметрический тензор второго ранга !). Поэтому матрица

В § 1.1 было установлено, что положение материальной системы, подчиненной k голономным связям, определяется s = Зп — k независимыми декартовыми координации. Однако во многих случаях использование декартовых координат приводит к громоздким выкладками Поэтому для определения положения материальной системы можно использовать другие независимые друг от друга параметры q\, q%, •. •, qs. Эти параметры могут иметь различную размерность — эта могут быть углы, длины дуг, площади и т. п. Все Зя декартовых координат можно выразить через введенные параметры

Система уравнений (7.46) совместно с соотношениями (7.35) составляет полную систему уравнений для определения декартовых координат х\, tji, Zi, х2, г/2, zz, . '.'. ..., хп, уп, zn и квазискоростей %, Л2, ..., As-d как функций времени t.

В декартовых координатах (рис.3.7,а)

В декартовых координатах (рис.3.8,а) „ _ КП „. 8„. 9 Зл,

В отличие от диаграмм состояния двойных сплавов, строившихся на плоскости в декартовых координатах состав — температура, для построения диаграмм состояния тройных систем используют пространственное изображение. Диаграммы, построенные в пространственных координатах, состоят из различных поверхностей, между которыми заключены объемы одинаковых фазовых состояний.

График угловой скорости ш(1) изображается в декартовых координатах с учетом числовых значений масштабов: угловой скорости ц.,,, и времени ц,,. Промежуток времени от ta до ti делится на такое количество интервалов Д/,, которое позволяет считать, что на каждом малом промежутке времени Д/, движение можно принять равномерным.

быть введены в рассмотрение три независимые величины; мы назовем их обобщенными координатами точки и обозначим через qlt <72 и <73. Так, например, в декартовых координатах ql = x, qz — y, q3 = г, в цилиндрических координатах <7i = Р, <72 = ^> Чз = ф. а в сферических координатах <7i = p, <72 = Ф. <7з —'Ф и т- Д-

ее, часто оказывается удобным вычислить сначала кинетическую энергию системы в декартовых координатах, а затем перейти от декартовых координат и их производных к «новым» координатам, используя уравнения преобразования (8). При этом дифференцирование осуществляется по формулам (11), т. е. учитывается зависимость и от явно входящего времени.

Начнем с изучения структуры функции Т. При исследовании движения в декартовых координатах кинетическая энергия системы материальных точек

Было показано, что если силы Ft (i=l, ..., N) имеют потенциал в декартовых координатах, то обобщенные силы QJ, каковы бы ни были новые (обобщенные) координаты, тоже потенциальны.

1° Если в «исходных» декартовых координатах существует потенциальная функция (1), то при любом выборе «новых» (обобщенных) координат qj(j—\, ..., п) существует функция V(ql!... .,., qn\ t), такая, что

Положение точки, в которой происходит событие, может быть определено с помощью жестких масштабов методами евклидовой геометрии и выражено в декартовых координатах. Ньютоновская механика в этом отношении пользовалась вполне реальными приемами сравнения измеряемых величин с образцовыми эталонами.

Дополнение 1. Векторы и сферические полярные координаты (65). Дополнение 2. Кристаллические решетки и обратная решетка (66). Математическое дополнение 1. Равенство векторов в сферическом пространстве (68). Математическое дополнение 2. Обобщенная векторная система обозначений в декартовых координатах (69). Из истории физики. Дж. В. Гиббс (70).