Деформационных граничных

Здесь компоненты, отмеченные звездочкой, — дополнительные величины первого порядка малости; IE], [0 ] — единичная и нулевая матрица размерности (3 х 3). Поскольку начальное состояние считается напряженным, но недеформированным, все полученные ранее деформационные соотношения остаются справедливыми и для дополнительных величин.

В этом случае матрицы связи [Ci], [C2] остаются такими же, как в уравнении (5.67). Матрицы [L\n], [1*$], определяющие деформационные соотношения, были приведены для уравнений (5.68). Матричные блоки канонической системы разрешающих уравнений вычисляются по зависимостям, представленным ранее для уравнения (5.51), при этом матрица [Sfi ] вычисляется следующим образом:

Здесь компоненты, отмеченные звездочкой, — дополнительные величины первого порядка малости; IE], [0 ] — единичная и нулевая матрица размерности (3 х 3). Поскольку начальное состояние считается напряженным, но недеформированным, все полученные ранее деформационные соотношения остаются справедливыми и для дополнительных величин.

В этом случае матрицы связи [Ci], [C2] остаются такими же, как в уравнении (5.67). Матрицы [L\n], [1*$], определяющие деформационные соотношения, были приведены для уравнений (5.68). Матричные блоки канонической системы разрешающих уравнений вычисляются по зависимостям, представленным ранее для уравнения (5.51), при этом матрица [Sfi ] вычисляется следующим образом:

Формулы (1.6)— (1.7) определяют деформационные соотношения простейшего нелинейного варианта теории тонких оболочек типа Тимошенко в квадратичном приближении при малых удлинениях и сдвигах. Они допускают естественный переход к соответствующим соотношениям известных теорий. Опуская в (1.7) нелинейные члены, получим деформационные выражения [1.30]. Дополнительно полагая j3z- =0/, приходим к классической теории тонких оболочек [ 1.22] ,

В этом случае основные соотношения теории несколько упрощаются. Деформационные соотношения (1.7) принимают форму:

Еще более простой вид деформационные соотношения и уравнения равновесия приобретают в случае осесимметричной деформации замкнутой оболочки вращения.

Деформационные соотношения (1.40) и (1.41) допускают предельный переход к соответствующим соотношениям линейной теории тонких анизотропных оболочек Кирхгоффа— Лява. Полагая ft- = 0/ и опуская в (1,40) нелинейные члены, приходим к деформационным соотношениям [1.3], в частности К12 —

Анализируя соотношения упругости (1.10), (1,33), деформационные соотношения (1.40), (1.41) и уравнения равновесия (1.42), (1.43), видим, что они принципиально отличаются от аналогичных соотношений осесимметричных ортотропных оболочек. Особенность данной задачи состоит в том, что кинематические И2, 02, 0 г, w, Е\ 2, К\г и силовые характеристики оболочки S, H, Q2, N2 не равны нулю. По згой причине решение задач прочности анизотропных оболочек значительно усложняется, так как здесь приходится иметь дело с полной системой нелинейных дифференциальных уравнений десятого порядка, в то время как традиционный подход, основанный на теории ортотропных оболочек, приводит к системе уравнений шестого порядка.

Введем тангенциальные перемещения из (2.3) в деформационные соотношения, приведенные в п. 1.2, н, принимая во внимание гипотезу 3, приходим к другой формуле для поперечных сдвигов

Введем тангенциальные перемещения из (2. 1 1) в выражения, определяющие тензор деформаций простейшего нелинейного варианта теории оболочек в квадратичном приближении (см. п. 1.2). После несложных преобразований с учетом гипотезы 3 и допущения о тонкостенное™ оболочки получаем деформационные соотношения:

При изложении теории оболочек, работающих в условиях температурных воздействий (глава 14), вводится операторная форма записи уравнений и граничных условий линейной теории оболочек, наглядно иллюстрирующая их завершенность в отношении статико-геометрической аналогии после введения деформационных граничных величин.

Таким образом, в рамках принятых допущений деформация боковой поверхности (as = const) полностью определяется четырьмя параметрами, выражающимися через параметры деформации срединной поверхности (а значит, на основании определяющих уравнений упругости, и через усилия — моменты) и отвечающими по статико-геометрической аналогии статическим граничным величинам Кирхгофа. Названные параметры деформации боковой поверхности, введенные в линейную теорию оболочек вторым автором этой книги [202], могут быть использованы в качестве обобщенных смещений при формулировке граничных условий. Обоснование сказанного и примеры практического применения деформационных граничных величин содержатся во второй части книги. Здесь лишь отметим, что названные величины позволяют в значительной мере варьировать способы формулировки граничных условий. Например, если в многосвязной оболочке замкнутый край оболочки «2 = const подкреплен абсолютно жестким кольцом, но может перемещаться как твердое тело, то вместо неприемлемых в этом случае граничных условий абсолютно заделанного края (1.133) следует использовать условия абсолютно жесткого края

К рассмотренному примеру мы еще вернемся в гл. 14 прн обсуждении деформационных граничных величин, а также в гл. 15 при рассмотрении более общей задачи об изгибе «оболочечиой> консоли, подкрепленной упругим кольцом.

Первая группа величин хорошо известна и широко используется в теории оболочек. Величины, входящие во вторую группу, используются при решении задач о деформации пластин методами теории функции комплексной переменной. Особенно интересным является использование деформационных граничных условий, формулируемых в терминах величин х«, xjv, x
В главе вводится операторная форма записи уравнений теории оболочек, оптимально сочетающая, по мнению авторов, компактность, наглядность и конструктивность. Разъясняется особенность деформационных граничных величин, которая заключается в том, что при формулировке граничных условий в терминах названных величин следует дополнительно задавать значения главного вектора и главного момента краевых статических величин. Переопределенность в граничных условиях (десять вместо четырех) является кажущейся, так как деформационные граничные величины связаны между собой шестью условиями однозначности смещений и углов поворота.

На основании соотношения (14.28) приходим к выводу, что задание четырех деформационных граничных величин, вообще говоря, не обеспечивает единственность решения краевых задач теории оболочек. Для подтверждения сказанного достаточно рассмотреть консольную оболочку вращения, закрытую на незакрепленном конце абсолютно жесткой диафрагмой, к которой приложена внешняя сила Р (см. рис. 4.6 или 4.10). Если не учитывать в формуле (14.28) внеинтегральные слагаемые, то при отсутствии поверхностной нагрузки из условия

С введением в теорию оболочек деформационных граничных величин иногда предпочтительней метода сил может оказаться метод деформаций

Столбец деформационных граничных величин определяется через параметры полной деформации в<г>, х<г> обычным образом

В главе выводятся деформационные граничные условия подкрепленного края оболочки, основанные на формулировке геометрических условий сопряжения оболочки и тонкого стержня в терминах деформационных граничных величин. На этой же основе выводятся деформационные уравнения термостатики ребристых оболочек, из которых предельным переходом получены деформационные уравнения для конструктивно анизотропных оболочек, а из последних, в свою очередь, — континуальцые уравнения термостатики регулярных стержневых решеток.

деформационных граничных величин <Эх. Потребовав при вычислении А и Q выполнения условий еф) х = гхг, i = 0, мы, по-существу, задали при 6 = 6а граничные условия абсолютно жесткого края дхх = [—х2, !, хф, lt—хг, 1( е<р, J® ='0, так как в силу однозначности смещений имеют место равенства

Далее, используя соотношения (14.14) и (14.33), получаем формулы для деформационных граничных величин на контуре сплошной пластины

Об устранении неопределенности в формулах для жесткостей эквивалентного подкрепления отверстий. Пусть край отверстия в плоской Пластине подкреплен стержнем так, что выполняются условия (16.1) при /Cvn 0. Разрешая систему (16.1) относительно деформационных граничных величин, получим (при det К Ф 0)