Деформаций поперечных

3. Сформулирована задача учета деформаций ползучести при расчете термостойкости покрытий; решена задача учета ползучести при релаксации напряжений.

Первушин Ю. С., Павлов В. П., Зайнуллин В. В., О применении температурно-временной аналогии к расчету деформаций ползучести стеклопластиков в нестационарном поле температур, Пробл, прочности, № 7 (1976).

малышх напряжений и деформаций. Авторы [40] признают, что упрощенные формулы пригодны только для случая упругого нагружения однородных материалов. В образцах из композита алюминиевая матрица деформируется пластически, в результате истинное максимальное напряжение в волокне ниже значений, представленных на графиках. Однако, поскольку не существует в настоящее время сколько-нибудь пригодных уравнений для вычисления истинных напряжений и деформаций ползучести при изгибе композитных образцов, здесь приводятся результаты из работы [40].

Если необходимо увеличить точность расчета, сохранив неизменным приращение времени, то при вычислении деформаций ползучести вместо напряжений в начале приращения времени можно использовать средние значения составляющих напряжения на этом Д/. Средние напряжения заранее неизвестны, однако могут быть получены в первом приближении путем осреднения начальных напряжений и только что полученных оценок конечных приращений. Это приближение можно улучшить при помощи итерационной процедуры, в соответствии с которой последняя оценка конечного напряженного состояния осредняется с начальным напряженным состоянием, что дает средние напряжения и новую улучшенную оценку конечного напряженного состояния [6]. При получении результатов, приведенных в данной главе, итерационные процедуры не использовались. Несмотря на это упрощение, процедура анализа оказалась вычислительно устойчивой и, несомненно, точной для больших интервалов времени. Проиллюстрируем применение метода приращений на простом примере одноосного напряженного состояния.

р = ЮО Н (22 фунт), деформации ползучести отсутствуют. Положим для материала 1 скорость деформаций ползучести равной ёс' = kP\ 1/мин, а для материала 2 равной ёс = 0 при любом уровне напряжений. Деформации ползучести можно, рассматривать таким же образом, как и термические деформации. Подставляя а\АТ -f- e° вместо с^ДГ в уравнение совместности, дифференцируя и записывая полностью ёс и Р2, получаем следующее дифференциальное уравнение длл Р\: .

лярный прямоугольный массив параллельных цилиндрических волокон, идеально связанных с однородным материалом матрицы. В силу симметрии достаточно рассмотреть только наименьший, обладающий всеми свойствами системы, повторяющийся сегмент (см. рис. 7.3). Этот сегмент последовательно моделируется системой ортотропных элементов в виде треугольных призм, в которых деформированное состояние материала однородно. Величины напряжений и деформаций элементов, соответствующие напряженно-деформированному состоянию композита, представляют достаточную информацию для расчета как упругих свойств однонаправленного слоя, так и подробного распределения напряжений и деформаций в волокне и матрице при любом напряженном состоянии композита [44]. Теперь рассмотрим, как такой анализ можно распространить на случай учета деформаций ползучести.

Исследуемый промежуток времени делится на большое число малых интервалов. Рассчитанные приращения деформаций ползучести и напряжений суммируются в конце каждого интервала. В результате получается дискретная аппроксимация изменения напряжений и деформаций ползучести каждого конечного элемента во времени. Также определяется осредненная временная зависимость деформаций ползучести всего прямоугольного массива элементов, представляющего однонаправленный материал.

матрица. Анализ протекал следующим образом. Сначала исследуемый промежуток времени делился на небольшие интервалы. В идеальном варианте эти интервалы малы настолько, что деформации ползучести за это время не приводят к значительным различиям между напряжениями в элементе в начале и конце любого интервала. Предполагается, что в начале каждого интервала компоненты напряжения и деформации ползучести известны в любой точке (т. е. в каждом конечном элементе каждого слоя). Уравнения (7.20) — (7.24), примененные к каждому элементу слоя, позволяют получить приращения нестесненных деформаций ползучести. Далее, как это сделано в предыдущем разделе, для получения приращений осредненнои деформации ползучести каждого слоя в отдельности, работающего независимо от других слоев, накладываются условия совместности деформаций компонентов слоя. Из закона деформирования отдельного слоя затем рассчитываются осредненные напряжения в плоскости, необходимые для возвращения каждого слоя в недеформированное состояние. Эти напряжения для каждого слоя суммируются по композиту, и их сумма равна, но противоположна по знаку результирующим напряжениям, приложенным к композиту в целом.

Далее, используя классическую теорию слоистых сред, можно определить приращения осредненнои деформации ползучести композита. Эти деформации соответствуют приращениям осредненнои деформации ползучести каждого слоя, если допустить, что отсутствуют деформации изгиба и кручения. Таким образом, приращения напряжений слоя вычисляются из законов деформирования а(е) слоя на основании данных как о приращении деформации ползучести слоя, не связанного с композитом, так и о конечных приращениях деформации слоя в составе композита. Последующий анализ слоя методом конечных элементов позволяет получить приращения деформаций ползучести и напряжений каждого элемента в каждом слое. Превалирующие напряжения в каждом элементе и деформации слоистого композита в целом далее корректируются перед повторением всей процедуры для следующего интервала времени.

В эксперименте наблюдалась общая тенденция роста деформаций ползучести с температурой. Причем различия между деформациями при температурах 71 и 121 °С оказались

Результаты кратковременных статических испытаний и испытаний на ползучесть представлены на рис. 7.18—7.22. Несмотря на очень тщательное соблюдение технологии склейки,, известную проблему, которая так и не была решена, составило различие деформаций ползучести разных образцов при одинаковых температурах и напряжениях. Значительный разброс обнаружился и в величинах предельных напряжений.

Второй этап расчета связан с наличием переменных вдоль оси деформаций поперечных сечений оболочки, захсчет которых возникают силы взаимодействия между отдельными диафрагмами и оболочкой, а также дополнительно между отдельными кольцами. Условие совместности деформаций будет выполнено, если учесть эти дополнительные внутренние усилия, действующие как в поперечных, так и в продольных сечениях оболочки. Задача значительно упрощается, если выразить неизвестные через одно:

Оно ничем не отличается от классического решения изгиба балки. Такое совпадение объясняется тем, что в данной задаче перерезывающая сила в любом сечении равна нулю, и поэтому изгиб стержня происходит без деформаций поперечных сдвигов.

— плотность энергии деформаций поперечных сдвигов;

Классическая теория пластин применима, когда толщина пластины мала по сравнению с характерным масштабом изменения напряженно-деформированного состояния (Л2 < X2). В этом случае оправдано пренебрежение влиянием деформаций поперечных сдвигов и инерцией вращения нормальных элементов. Если указанное выше условие нарушается (Л — К), то при рассмотрении задач колебаний пластин необходим учет деформаций поперечных сдвигов и инерции вращения нормальных элементов. Распространение теории Тимошенко для стержней на пластины приводит к уравнениям

Ki — Pl(EL^) — критерий Кирпичева (число Гука), характеристическое число внешней нагрузки, v — число Пуассона, отношение деформаций поперечных и продольных волокон. aL2/P — безразмерное напряжение, w/L — относительное перемещение.

Оно ничем не отличается от классического решения изгиба балки. Такое совпадение объясняется тем, что в данной задаче перерезывающая сила в любом сечении равна нулю, и поэтому изгиб стержня происходит без деформаций поперечных сдвигов.

— плотность энергии деформаций поперечных сдвигов;

Отметим некоторые преимущества смешанной вариационной формулировки задачи (1.82), (1.83) по сравнению с классическим методом перемещений. При решении задач прикладной теории упругости и строительной механики методом конечных элементов сходимость решений в ряде случаев определяется реакцией элемента на смещения как жесткого целого и геометрической изотропией (когда не отдается предпочтение какому-либо направлению) аппроксимации деформаций. Плохая сходимость решений, в первую очередь, характерна для криволинейных элементов оболочечного типа, поскольку аппроксимация перемещений полиномами низкой степени является грубой для описания смещений как жесткого целого. Такие элементы могут накапливать «ложную» деформацию и вносить существенные погрешности в решение задач. При учете деформаций поперечных сдвигов и обжатия в многослойных оболочечных элементах учет смещения как жесткого целого становится особенно важным, поскольку при уменьшении параметра тонкостенное™ (h/R) указанные деформации стремятся к нулю, а коэффициенты их вклада в общую потенциальную энергию стремятся к бесконечности. Таким образом, погрешности в вычислении деформаций усиливаются и могут дать значительную «ложную» энергию, превосходящую энергию изгиба или энергию мембранных деформаций. Независимая аппроксимация полей деформаций в пределах конечного элемента при использовании смешанного метода позволяет обеспечить минимальную энергию «ложных» деформаций и требуемый ранг матрицы жесткости.

Пример 1.5. Требуется получить каноническую систему и матрицу фундаментальных решений задач статики для многослойной полосы единичной ширины. Расчет выполнить с учетом деформаций поперечных сдвигов. Структура многослойной полосы — симметричная относительно срединной поверхности.

где ?/i = -9-(cr]e1 + a2e2 + ai2gi2) — плотность энергии деформаций в плоскости пластины; ?/2 = -o~(CT3i?3i+a32?32)—плотность энергии деформаций поперечных сдвигов; Uz = -^-^s^ez — плотность

Будем считать, что деформирование многослойной оболочки происходит без поперечных деформаций растяжения — сжатия (е3=0). Для учета деформаций поперечных сдвигов ограничимся линейным приближением ез1 = е13(г)+езкг) (1,2), поскольку эти деформации не являются основными, а только уточняют классическую теорию оболочек. Основные деформации е\,. е2, е\ч будем считать малыми, поэтому произведениями ещ,), 822(0, ei2(2), 82ко можно пренебречь. С учетом сделанных замечаний для многослойной оболочки вместо деформационных соотношений (2.132) можно воспользоваться следующими выражениями: